連続写像の拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/07 07:32 UTC 版)
ストーン・チェックのコンパクト化における連続写像の拡張 ( i X , β X ) {\displaystyle (i_{X},\beta X)} をチコノフ空間 X {\displaystyle X} のストーン・チェックのコンパクト化とする。このとき以下が成立する。任意のコンパクトハウスドルフ空間 K {\displaystyle K} と連続写像 f : X → K {\displaystyle f:X\to K} に対し、ある連続写像 β f : β X → K {\displaystyle \beta f:\beta X\to K} が（実はただ一つ）存在して β f ∘ i = f {\displaystyle \beta f\circ i=f} が成立する。すなわち以下の図式が可換となる。 X → i β X f ↘ ↓ β f K {\displaystyle {\begin{array}{rcl}X&{\overset {i}{\to }}&\beta X\\&f\searrow &\downarrow \beta f\\&&K\end{array}}} このことはストーン・チェックのコンパクト化を得る操作がコンパクトハウスドルフ空間の圏からチコノフ空間の圏への忘却関手の左随伴関手であることを示している。この意味でストーン・チェックのコンパクト化はチコノフ空間から「自由に生成された」コンパクト空間と見ることが出来る。
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連続写像の拡張
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/07/07 07:32 UTC 版)
ウォールマンのコンパクト化における連続写像の拡張 ( i , ω X ) {\displaystyle (i,\omega X)} をT_1空間 X {\displaystyle X} のウォールマンのコンパクト化とする。このとき以下が成立する。任意のコンパクトT_1空間 K {\displaystyle K} と連続写像 f : X → K {\displaystyle f:X\to K} 対しある連続写像 ω f : ω X → K {\displaystyle \omega f:\omega X\to K} が（実はただ一つ）存在して ω f ∘ i = f {\displaystyle \omega f\circ i=f} が成立する。すなわち以下の図式が可換となる。 X → i ω X f ↘ ↓ ω f K {\displaystyle {\begin{array}{rcl}X&{\overset {i}{\to }}&\omega X\\&f\searrow &\downarrow \omega f\\&&K\end{array}}} これは μ ∈ ω X {\displaystyle \mu \in \omega X} にたいし ω f ( μ ) ∈ ⋂ { C ⊆ K : C is closed , f − 1 ( C ) ∈ μ } {\displaystyle \omega f(\mu )\in \bigcap \{C\subseteq K:C{\text{ is closed}},f^{-1}(C)\in \mu \}} と定義することで構成できる。
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