逆解法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/26 07:32 UTC 版)
逆解法は回転楕円体上の2点の座標 ( ϕ 1 , L 1 ) , ( ϕ 2 , L 2 ) {\displaystyle (\phi _{1},L_{1}),(\phi _{2},L_{2})} が与えられた時に、方位角 α 1 , α 2 {\displaystyle \alpha _{1},\alpha _{2}} と距離 s {\displaystyle s} を導く。 U 1 , U 2 {\displaystyle U_{1},U_{2}} 及び L {\displaystyle L} を計算し、 λ {\displaystyle \lambda } を λ = L {\displaystyle \lambda =L} で初期化し、以下の計算を λ {\displaystyle \lambda } が収束するまで反復する。 sin σ = ( cos U 2 sin λ ) 2 + ( cos U 1 sin U 2 − sin U 1 cos U 2 cos λ ) 2 {\displaystyle \sin \sigma ={\sqrt {(\cos U_{2}\sin \lambda )^{2}+(\cos U_{1}\sin U_{2}-\sin U_{1}\cos U_{2}\cos \lambda )^{2}}}} cos σ = sin U 1 sin U 2 + cos U 1 cos U 2 cos λ {\displaystyle \cos \sigma =\sin U_{1}\sin U_{2}+\cos U_{1}\cos U_{2}\cos \lambda \,} σ = arctan sin σ cos σ {\displaystyle \sigma =\arctan {\frac {\sin \sigma }{\cos \sigma }}\,} sin α = cos U 1 cos U 2 sin λ sin σ {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {\cos U_{1}\cos U_{2}\sin \lambda }{\sin \sigma }}\,} cos 2 α = 1 − sin 2 α {\displaystyle \cos ^{2}\alpha =1-\sin ^{2}\alpha \,} cos ( 2 σ m ) = cos σ − 2 sin U 1 sin U 2 cos 2 α {\displaystyle \cos(2\sigma _{m})=\cos \sigma -{\frac {2\sin U_{1}\sin U_{2}}{\cos ^{2}\alpha }}\,} C = f 16 cos 2 α [ 4 + f ( 4 − 3 cos 2 α ) ] {\displaystyle C={\frac {f}{16}}\cos ^{2}\alpha {\big [}4+f(4-3\cos ^{2}\alpha ){\big ]}\,} λ = L + ( 1 − C ) f sin α { σ + C sin σ [ cos ( 2 σ m ) + C cos σ ( − 1 + 2 cos 2 ( 2 σ m ) ) ] } {\displaystyle \lambda =L+(1-C)f\sin \alpha \left\{\sigma +C\sin \sigma \left[\cos(2\sigma _{m})+C\cos \sigma (-1+2\cos ^{2}(2\sigma _{m}))\right]\right\}\,} λ {\displaystyle \lambda } が所望の精度まで収束したら（10-12の偏差ならば0.06 mmの精度）以下の計算を行う。 u 2 = cos 2 α a 2 − b 2 b 2 {\displaystyle u^{2}=\cos ^{2}\alpha {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}\,} A = 1 + u 2 16384 { 4096 + u 2 [ − 768 + u 2 ( 320 − 175 u 2 ) ] } {\displaystyle A=1+{\frac {u^{2}}{16384}}\left\{4096+u^{2}\left[-768+u^{2}(320-175u^{2})\right]\right\}} B = u 2 1024 { 256 + u 2 [ − 128 + u 2 ( 74 − 47 u 2 ) ] } {\displaystyle B={\frac {u^{2}}{1024}}\left\{256+u^{2}\left[-128+u^{2}(74-47u^{2})\right]\right\}} Δ σ = B sin σ { cos ( 2 σ m ) + 1 4 B [ cos σ ( − 1 + 2 cos 2 ( 2 σ m ) ) − 1 6 B cos ( 2 σ m ) ( − 3 + 4 sin 2 σ ) ( − 3 + 4 cos 2 ( 2 σ m ) ) ] } {\displaystyle \Delta \sigma =B\sin \sigma {\Big \{}\cos(2\sigma _{m})+{\tfrac {1}{4}}B{\big [}\cos \sigma {\big (}-1+2\cos ^{2}(2\sigma _{m}){\big )}-{\tfrac {1}{6}}B\cos(2\sigma _{m})(-3+4\sin ^{2}\sigma ){\big (}-3+4\cos ^{2}(2\sigma _{m}){\big )}{\big ]}{\Big \}}} s = b A ( σ − Δ σ ) {\displaystyle s=bA(\sigma -\Delta \sigma )\,} α 1 = arctan ( cos U 2 sin λ cos U 1 sin U 2 − sin U 1 cos U 2 cos λ ) {\displaystyle \alpha _{1}=\arctan \left({\frac {\cos U_{2}\sin \lambda }{\cos U_{1}\sin U_{2}-\sin U_{1}\cos U_{2}\cos \lambda }}\right)} α 2 = arctan ( cos U 1 sin λ − sin U 1 cos U 2 + cos U 1 sin U 2 cos λ ) {\displaystyle \alpha _{2}=\arctan \left({\frac {\cos U_{1}\sin \lambda }{-\sin U_{1}\cos U_{2}+\cos U_{1}\sin U_{2}\cos \lambda }}\right)} 両極付近の2点間の計算は最初の λ {\displaystyle \lambda } を設定した際に π {\displaystyle \pi } 以上となると、収束しない。
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