近代の（超函数に基づく）定義
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/03/12 08:10 UTC 版)
「軟化子」の記事における「近代の（超函数に基づく）定義」の解説
定義 1. φ {\displaystyle \varphi } は ℝn, n ≥ 1 上の滑らかな函数で、次の三つの性質を満たすものとする： (1) コンパクトな台を持つ。 (2) ∫ R n φ ( x ) d x = 1 {\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\!\varphi (x)\mathrm {d} x=1} (3) lim ϵ → 0 φ ϵ ( x ) = lim ϵ → 0 ϵ − n φ ( x / ϵ ) = δ ( x ) {\displaystyle \lim _{\epsilon \to 0}\varphi _{\epsilon }(x)=\lim _{\epsilon \to 0}\epsilon ^{-n}\varphi (x/\epsilon )=\delta (x)} ここに δ ( x ) {\displaystyle \delta (x)} はディラックのデルタ函数であり、その極限はシュワルツ超函数の空間において解釈されるものとする。このとき、 φ {\displaystyle \varphi } は軟化子と呼ばれる。この函数 φ {\displaystyle \varphi } は、さらに次の性質を満たす場合も考えられている： (4) すべての x ∈ ℝn に対して φ ( x ) ≥ 0 {\displaystyle \varphi (x)\geq 0} を満たす場合は、正軟化子 (positive mollifier) と呼ばれる。 (5) ある無限回微分可能な函数 μ: ℝ+ → ℝ に対して φ ( x ) = μ ( | x | ) {\displaystyle \varphi (x)=\mu (|x|)} を満たす場合は、対称軟化子 (symmetric mollifier) と呼ばれる。
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