解析から幾何学へ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/08 05:48 UTC 版)
「フロベニウスの定理 (微分トポロジー)」の記事における「解析から幾何学へ」の解説
劣決定系の連立方程式の解はめったに一意ではない。 たとえば、次の微分方程式 { ∂ f ∂ x + ∂ f ∂ y = 0 ∂ f ∂ y + ∂ f ∂ z = 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}=0\\{\frac {\partial f}{\partial y}}+{\frac {\partial f}{\partial z}}=0\end{cases}}} は明らかに複数の解を認める。それにも関わらず、これらの解はそれらが完全に記述されることができるために十分な構造を、依然として有する。 最初の観察では、例え f1 と f 2 が2つの異なる解であったとしても、f1 と f 2 の レベル集合は重複しなければならない。実際、この系の等位面は、x − y + z = C （ C は定数）で表現される R3 上に存在する全ての平面である。２番目の観察は、一度等位面が既知となれば、全ての解を任意の関数に関して与えることができるということである。 等位面上の解 f の値は定義上定数であるため、関数C(t) を次のように定義する。 逆に、関数C(t)が与えられると、この式で与えられる各関数 f は元の方程式の解になる。 したがって、レベル集合が存在することから、元の方程式の解は、1つの変数の任意の関数と1対1で対応する。
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