第一主成分
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/11 09:02 UTC 版)
第一主成分に対応する負荷量ベクトル w1 は以下の条件を満たす。 w 1 = a r g m a x ‖ w ‖ = 1 ‖ X w ‖ 2 . {\displaystyle \mathbf {w} _{1}={\underset {\Vert \mathbf {w} \Vert =1}{\operatorname {arg\,max} }}\Vert \mathbf {Xw} \Vert ^{2}.} さらに変数 w が単位ベクトルという制約を除けば、上述の条件は次の等価な条件に簡約化することができる。 w 1 = a r g m a x w ≠ 0 ‖ X w ‖ 2 ‖ w ‖ 2 . {\displaystyle \mathbf {w} _{1}={\underset {\mathbf {w} \neq \mathbf {0} }{\operatorname {arg\,max} }}{\frac {\Vert \mathbf {Xw} \Vert ^{2}}{\Vert \mathbf {w} \Vert ^{2}}}.} 右辺の最大化される量は XTX に対するレイリー商と見ることができる。XTX は対称行列だから、レイリー商の最大値は行列の最大固有値となり、それに伴い負荷量ベクトルは対応する固有ベクトルとなる。 第一負荷量ベクトル w1 が得られれば、データ点 xi に対応する主成分得点 t1(i) = xi · w1、あるいは対応するベクトル (xi · w1)w1 が得られる。
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