相対座標の運動方程式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/30 09:12 UTC 版)
詳細は「換算質量」を参照 AとBの2つの質点がある。AとBはそれぞれ座標は r → A , r → B {\displaystyle {\vec {r}}_{A},{\vec {r}}_{B}} 、質量は m A , m B {\displaystyle m_{A},\,m_{B}} 、速さは v → A , v → B {\displaystyle {\vec {v}}_{A},{\vec {v}}_{B}} である。作用・反作用の法則を考慮して、Aの運動方程式に m B {\displaystyle \,m_{B}} を掛け、Bの方程式には m A {\displaystyle \,m_{A}} を掛けて引き算すれば m A m B d 2 ( r → B − r → A ) d t 2 = ( m A + m B ) F → B A + m A F → B − m B F → A {\displaystyle m_{A}m_{B}{\frac {d^{2}({\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A})}{dt^{2}}}=(m_{A}+m_{B}){\vec {F}}_{BA}+m_{A}{\vec {F}}_{B}-m_{B}{\vec {F}}_{A}} となり、外力がないとき上式は次のようになる。 m 1 m 2 m 1 + m 2 d 2 ( r → B − r → A ) d t 2 = F → B A {\displaystyle {\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}{\frac {d^{2}({\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A})}{dt^{2}}}={\vec {F}}_{BA}} この式は、座標を r → ≡ r → B − r → A {\displaystyle {\vec {r}}\equiv {\vec {r}}_{B}-{\vec {r}}_{A}} 、質量を μ ≡ m A m B m A + m B {\displaystyle \mu \equiv {\tfrac {m_{A}m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}} とする質点の運動方程式とみなすことができる。 r → {\displaystyle {\vec {r}}} を相対座標、 μ {\displaystyle \,\mu } を換算質量と呼ぶ。したがって、上の運動方程式は μ d 2 r → d t 2 = μ d v → d t = F → B A {\displaystyle \mu {\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}=\mu {\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}}_{BA}} のようにあらわされ、ちょうど換算質量を持つ質点が、相対速度で運動するときの運動方程式とみなせる。これを相対座標の運動方程式という。 とくに m A ≪ m B {\displaystyle m_{A}\ll m_{B}} のときには、換算質量は小さいほうの質量 m A {\displaystyle \,m_{A}} に等しいとみなせる。 μ = m A m B m A + m B ≒ m A {\displaystyle \mu ={\frac {m_{A}m_{B}}{m_{A}+m_{B}}}\fallingdotseq m_{A}} この場合には、ちょうど静止した大きな質量 m B {\displaystyle \,m_{B}} からの力を受けて運動する、質量 m A {\displaystyle \,m_{A}} の質点の運動方程式を表すことになる。たとえば、地球の周りを回る人工衛星は、静止している地球からの引力を受けて運動していると近似的に扱うことができる。
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