球面座標系におけるワイル真空解
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/28 09:31 UTC 版)
「ワイル計量」の記事における「球面座標系におけるワイル真空解」の解説
球面座標系を用いてワイル計量を表わすこともできる。 d s 2 = − e 2 ψ ( r , θ ) d t 2 + e 2 γ ( r , θ ) − 2 ψ ( r , θ ) ( d r 2 + r 2 d θ 2 ) + e − 2 ψ ( r , θ ) ρ 2 d ϕ 2 {\displaystyle \mathrm {d} s^{2}\,=-e^{2\psi (r,\theta )}\mathrm {d} t^{2}+e^{2\gamma (r,\theta )-2\psi (r,\theta )}(\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2})+e^{-2\psi (r,\theta )}\rho ^{2}\mathrm {d} \phi ^{2}} (27) この式は式(1)に座標変換 (t, ρ, z, φ) ↦ (t, rsinθ, rcosθ, φ) をほどこしたものである（注意: 式(15)(21)(24)に示されるように、この座標変換は常に適用可能とは限らない）。真空の場合は、式(8.b)を ψ(r, θ) で書くと以下のようになる。 r 2 ψ , r r + 2 r ψ , r + ψ , θ θ + cot θ ⋅ ψ , θ = 0 {\displaystyle r^{2}\psi _{,\,rr}+2r\,\psi _{,\,r}+\psi _{,\,\theta \theta }+\cot \theta \cdot \psi _{,\,\theta }\,=\,0} (28) 漸近平坦な解の場合、式(28)は以下のようになる。 ψ ( r , θ ) = − ∑ n = 0 ∞ a n P n ( cos θ ) r n + 1 {\displaystyle \psi (r,\theta )\,=-\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}{\frac {P_{n}(\cos \theta )}{r^{n+1}}}} (29) ここで Pn(cosθ) はルジャンドル多項式を表わし、an は多重極子（英語版）係数である。もうひとつの計量ポテンシャル γ(r, θ) は次のように書ける。 γ ( r , θ ) = − ∑ l = 0 ∞ ∑ m = 0 ∞ a l a m {\displaystyle \gamma (r,\theta )\,=-\sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }a_{l}a_{m}} ( l + 1 ) ( m + 1 ) l + m + 2 {\displaystyle {\frac {(l+1)(m+1)}{l+m+2}}} P l P m − P l + 1 P m + 1 r l + m + 2 {\displaystyle {\frac {P_{l}P_{m}-P_{l+1}P_{m+1}}{r^{l+m+2}}}} (30)
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