温度について二次の項までの導出
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/06/18 14:04 UTC 版)
「ゾンマーフェルト展開」の記事における「温度について二次の項までの導出」の解説
温度について二次の項まで展開式を求めたい。ここで、 β − 1 = τ = k B T {\displaystyle \beta ^{-1}=\tau =k_{B}T} を温度とボルツマン定数の積とする。まず、変数変換 τ x = ε − μ {\displaystyle \tau x=\varepsilon -\mu } により次を得る。 I = ∫ − ∞ ∞ H ( ε ) e β ( ε − μ ) + 1 d ε = τ ∫ − ∞ ∞ H ( μ + τ x ) e x + 1 d x , {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\varepsilon )}{e^{\beta (\varepsilon -\mu )}+1}}\,\mathrm {d} \varepsilon =\tau \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,,} 積分範囲をわけて I = I 1 + I 2 {\displaystyle I=I_{1}+I_{2}} とし、 I 1 {\displaystyle I_{1}} x → − x {\displaystyle x\rightarrow -x} を施すと次を得る。 I = τ ∫ − ∞ 0 H ( μ + τ x ) e x + 1 d x ⏟ I 1 + τ ∫ 0 ∞ H ( μ + τ x ) e x + 1 d x ⏟ I 2 . {\displaystyle I=\underbrace {\tau \int _{-\infty }^{0}{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x} _{I_{1}}+\underbrace {\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x} _{I_{2}}\,.} I 1 = τ ∫ − ∞ 0 H ( μ + τ x ) e x + 1 d x = τ ∫ 0 ∞ H ( μ − τ x ) e − x + 1 d x {\displaystyle I_{1}=\tau \int _{-\infty }^{0}{\frac {H(\mu +\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x=\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu -\tau x)}{e^{-x}+1}}\,\mathrm {d} x\,} 次に、 I 1 {\displaystyle I_{1}} 1 e − x + 1 = 1 − 1 e x + 1 , {\displaystyle {\frac {1}{e^{-x}+1}}=1-{\frac {1}{e^{x}+1}}\,,} すると、次を得る。 I 1 = τ ∫ 0 ∞ H ( μ − τ x ) d x − τ ∫ 0 ∞ H ( μ − τ x ) e x + 1 d x {\displaystyle I_{1}=\tau \int _{0}^{\infty }H(\mu -\tau x)\,\mathrm {d} x-\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu -\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,} 変数変換 − τ d x = d ε {\displaystyle -\tau \mathrm {d} x=\mathrm {d} \varepsilon } により I 1 {\displaystyle I_{1}} の第一項を元の変数に戻し、 I = I 1 + I 2 {\displaystyle I=I_{1}+I_{2}} により次を得る。 I = ∫ − ∞ μ H ( ε ) d ε + τ ∫ 0 ∞ H ( μ + τ x ) − H ( μ − τ x ) e x + 1 d x {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +\tau \int _{0}^{\infty }{\frac {H(\mu +\tau x)-H(\mu -\tau x)}{e^{x}+1}}\,\mathrm {d} x\,} 第二項の分子は、 τ {\displaystyle \tau } が十分に小さく H ( ε ) {\displaystyle H(\varepsilon )} が十分に滑らかなとき一次導関数を用いて次のように近似することができる。 Δ H = H ( μ + τ x ) − H ( μ − τ x ) ≈ 2 τ x H ′ ( μ ) + ⋯ , {\displaystyle \Delta H=H(\mu +\tau x)-H(\mu -\tau x)\approx 2\tau xH'(\mu )+\cdots \,,} これを代入し、次を得る。 I = ∫ − ∞ μ H ( ε ) d ε + 2 τ 2 H ′ ( μ ) ∫ 0 ∞ x d x e x + 1 {\displaystyle I=\int _{-\infty }^{\mu }H(\varepsilon )\,\mathrm {d} \varepsilon +2\tau ^{2}H'(\mu )\int _{0}^{\infty }{\frac {x\mathrm {d} x}{e^{x}+1}}\,} この定積分の値は次のように得られることが知られている。 ∫ 0 ∞ x d x e x + 1 = π 2 12 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x\mathrm {d} x}{e^{x}+1}}={\frac {\pi ^{2}}{12}}} . したがって、最終的に次を得る。
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