正則性と特異点
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/03/31 14:32 UTC 版)
媒介表示された平面曲線が点 t0 において正則もしくは正常 (regular) である、または点 t0 がこの曲線上の正則点であるとは、α′(t0) := (φ′(t0), ψ′(t0)) ≠ (0,0) なることを言い、区間 I 上で正常とは I 上の任意の t において α′(t) ≠ (0,0) となることを言う。 α′(t0) = (0,0) を満たす点 t0 はこの曲線の特異点と呼ぶ。 曲線の正則性は、その曲線の接線の定義を可能にする。可微分曲線 α(t) の正則点 P0 := α(t0) における接線は、点 P0 を通り、ベクトル α ′ ( t 0 ) = ( ϕ ′ ( t 0 ) , ψ ′ ( t 0 ) ) {\displaystyle \alpha '(t_{0})=(\phi '(t_{0}),\psi '(t_{0}))} に平行な直線を言う。すなわち、点 t0 の周りで接線上の点 (X, Y) は方程式 ψ ′ ( t 0 ) ⋅ ( X − ϕ ( t 0 ) ) − ϕ ′ ( t 0 ) ⋅ ( Y − ψ ( t 0 ) ) = 0 {\displaystyle \psi '(t_{0})\cdot (X-\phi (t_{0}))-\phi '(t_{0})\cdot (Y-\psi (t_{0}))=0} を満足し、また媒介変数 t を用いれば (X, Y) := (Xt, Yt) は { X t = ϕ ′ ( t 0 ) ( t − t 0 ) + ϕ ( t 0 ) Y t = ψ ′ ( t 0 ) ( t − t 0 ) + ψ ( t 0 ) {\displaystyle {\begin{cases}X_{t}=\phi '(t_{0})(t-t_{0})+\phi (t_{0})\\[3pt]Y_{t}=\psi '(t_{0})(t-t_{0})+\psi (t_{0})\end{cases}}} としても表される。曲線が方程式 y = f(x) によって陽に与えられているならば、その点 (x0, y0) における接線は f ′ ( x 0 ) ⋅ ( x − x 0 ) − ( y − y 0 ) = 0 {\displaystyle f'(x_{0})\cdot (x-x_{0})-(y-y_{0})=0} なる関係によって与えられる。また、曲線が陰伏方程式 F(x, y) = 0 によって与えられているならば接線は F x 0 ⋅ ( x − x 0 ) + F y 0 ⋅ ( y − y 0 ) = 0 {\displaystyle F_{x_{0}}\cdot (x-x_{0})+F_{y_{0}}\cdot (y-y_{0})=0} なる関係を満たす。ただし、Fx0, Fy0 はそれぞれ F の x, y による偏微分をそれぞれ x0, y0 において評価した値である。 曲線の正則性は、その曲線の点 t0 における法線も定義可能にし、法線の方程式が ϕ ′ ( t 0 ) ⋅ ( ϕ ( t 0 ) − ϕ ( t ) ) + ψ ′ ( t 0 ) ⋅ ( ψ ( t 0 ) − ψ ( t ) ) = 0 {\displaystyle \phi '(t_{0})\cdot (\phi (t_{0})-\phi (t))+\psi '(t_{0})\cdot (\psi (t_{0})-\psi (t))=0} で与えられる。接線の場合と同様に 陽表示: f ′ ( x 0 ) ⋅ ( y − y 0 ) + ( x − x 0 ) = 0 {\textstyle f'(x_{0})\cdot (y-y_{0})+(x-x_{0})=0} ; 陰表示: F y 0 ⋅ ( x − x 0 ) + F x 0 ⋅ ( y − y 0 ) = 0 {\textstyle F_{y_{0}}\cdot (x-x_{0})+F_{x_{0}}\cdot (y-y_{0})=0} の陽にも書ける。 微分の定義により、 ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) = tan θ {\displaystyle {\frac {\psi '(t)}{\phi '(t)}}=\tan \theta } は幾何学的には曲線の接線の傾きを表しており、右辺において正弦が引数にとる角 θ は接線が x-軸の正の半直線となす角である。この関係式を { cos θ = ± ϕ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 sin θ = ± ψ ′ ( t ) ϕ ′ ( t ) 2 + ψ ′ ( t ) 2 {\displaystyle {\begin{cases}\cos \theta =\pm {\frac {\phi '(t)}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}}\\[3pt]\sin \theta =\pm {\frac {\psi '(t)}{\sqrt {\phi '(t)^{2}+\psi '(t)^{2}}}}\end{cases}}} と展開すれば、これにより曲線の接線の方向余弦と呼ばれる量 cos(θ) が得られる。
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