有限次元線型写像の線型性
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2017/08/14 15:53 UTC 版)
「不連続線型写像」の記事における「有限次元線型写像の線型性」の解説
X, Y がノルム空間で f が X から Y への線型写像とする。X が有限次元のとき、X の単位ベクトルからなる基底 (e1, e2, …, en) を取ることができて、このとき f ( x ) = ∑ i = 1 n x i f ( e i ) {\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})} ∥ f ( x ) ∥ = ∥ ∑ i = 1 n x i f ( e i ) ∥ ≤ ∑ i = 1 n | x i | ∥ f ( e i ) ∥ {\displaystyle \|f(x)\|=\left\|\sum _{i=1}^{n}x_{i}f(e_{i})\right\|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\|f(e_{i})\|} M = sup i { ∥ f ( e i ) ∥ } {\displaystyle M=\sup _{i}\{\|f(e_{i})\|\}} ∑ i = 1 n | x i | ≤ C ∥ x ∥ {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\leq C\|x\|} ∥ f ( x ) ∥ ≤ ( ∑ i = 1 n | x i | ) M ≤ C M ∥ x ∥ {\displaystyle \|f(x)\|\leq \left(\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|\right)M\leq CM\|x\|} となるから、つまり f は有界線型作用素、従って連続である。 X が無限次元のときには、この証明は上限 M の存在を保証できずに破綻する。また、Y が零ベクトル空間 {0} ならば X から Y への線型写像は零値写像しかなく、これは自明に連続となる。これら以外の全ての場合において、つまり X が無限次元かつ Y が零ベクトル空間でないとき、X から Y への不連続線型写像を考えることができる。
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