最初の結果と結果の記述
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/14 08:39 UTC 版)
「ダルブーの定理 (微分幾何学)」の記事における「最初の結果と結果の記述」の解説
この定理の、詳細な記述は次のようになる。 θ {\displaystyle \theta } を n {\displaystyle n} 次元多様体 M {\displaystyle M} の微分 1-形式とし、 d θ {\displaystyle d\theta } が一定のランク p {\displaystyle p} を持つと仮定する。 M {\displaystyle M} 上で常に θ ∧ ( d θ ) p = 0 {\displaystyle \theta \wedge \left(d\theta \right)^{p}=0} が成り立てば、局所座標系 x 1 , … , x n − p , y 1 , … , y p {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p}} が存在し、 θ = x 1 d y 1 + … + x p d y p {\displaystyle \theta =x_{1}\,dy_{1}+\ldots +x_{p}\,dy_{p}} となる。他方、 M {\displaystyle M} 上で常に θ ∧ ( d θ ) p ≠ 0 {\displaystyle \theta \wedge \left(d\theta \right)^{p}\neq 0} が成り立てば、局所座標系 x 1 , … , x n − p , y 1 , … , y p {\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n-p},y_{1},\ldots ,y_{p}} が存在し、 θ = x 1 d y 1 + … + x p d y p + d x p + 1 {\displaystyle \theta =x_{1}\,dy_{1}+\ldots +x_{p}\,dy_{p}+dx_{p+1}} となる。 特に、 ω {\displaystyle \omega } を n = 2 m {\displaystyle n=2m} 次元多様体 M {\displaystyle M} 上のシンプレクティック 2-形式とすると、ポアンカレの補題により、それぞれの M {\displaystyle M} の点 p {\displaystyle p} の近傍で、 d θ = ω {\displaystyle d\theta =\omega } となる 1-形式 θ {\displaystyle \theta } が存在する。さらに、 θ {\displaystyle \theta } は上で述べたダルブーの定理の前提のうち１つ目を満たし、 p {\displaystyle p} の近傍に局所座標系(chart) U {\displaystyle U} が存在し、その中で、 θ = x 1 d y 1 + … + x m d y m {\displaystyle \theta =x_{1}\,dy_{1}+\ldots +x_{m}\,dy_{m}} が成り立つ。外微分をとると、 ω = d θ = d x 1 ∧ d y 1 + … + d x m ∧ d y m {\displaystyle \omega =d\theta =dx_{1}\wedge dy_{1}+\ldots +dx_{m}\wedge dy_{m}} となる。局所座標 U {\displaystyle U} を p {\displaystyle p} の近傍のダルブー座標(Darboux chart)と呼ぶ。 多様体 M {\displaystyle M} はそのような局所座標により被覆される。 別の言い方をするために、 R 2 m {\displaystyle \mathbb {R} ^{2m}} と C m {\displaystyle \mathbb {C} ^{m}} を z j = x j + i y j {\displaystyle z_{j}=x_{j}+iy_{j}} により同一視する。 ϕ : U → C m {\displaystyle \phi :U\to \mathbb {C} ^{m}} がダルブー座標であれば、 ω {\displaystyle \omega } は C m {\displaystyle \mathbb {C} ^{m}} 上の標準シンプレクティック形式 ω 0 {\displaystyle \omega _{0}} の引き戻し（英語版）(pullback) ω = ϕ ∗ ω 0 {\displaystyle \omega =\phi ^{*}\omega _{0}} となる.
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