ダルブーの定理 (微分幾何学)とは? わかりやすく解説

Weblio 辞書 > 辞書・百科事典 > 百科事典 > ダルブーの定理 (微分幾何学)の意味・解説 

ダルブーの定理 (微分幾何学)

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2021/02/14 08:39 UTC 版)

ナビゲーションに移動 検索に移動

微分幾何学におけるダルブーの定理 (Darboux's theorem) は、微分形式に特に関係している定理で、部分的にはフロベニウス積分定理英語版の一般化となっている。この定理はいくつかの分野の基本的結果であり、特にシンプレクティック幾何学で重要である。定理は、ジャン・ダルブー(Jean Gaston Darboux) [1] にちなんでいて、彼はこの定理をパッフ(Pfaff)英語版[2]の問題の解として導出した。

この定理の多くの結果のうちの一つは、任意の 2つの同一次元のシンプレクティック多様体は、互いに局所シンプレクティック同相である。すなわち、全ての 次元のシンプレクティック多様体は、局所的には標準のシンプレクティック形式を持つシンプレクティックベクトル空間 とみなすことができる。また、この定理の結果の類似として接触幾何学英語版(contact geometry)へ応用されるものもある。

最初の結果と結果の記述

この定理の、詳細な記述は次のようになる[3] 次元多様体の微分 1-形式とし、 が一定のランク を持つと仮定する。上で常に

が成り立てば、局所座標系 が存在し、

となる。他方、上で常に

が成り立てば、局所座標系 が存在し、

となる。

特に、 次元多様体 上のシンプレクティック 2-形式とすると、ポアンカレの補題により、それぞれの の点 の近傍で、 となる 1-形式 が存在する。さらに、 は上で述べたダルブーの定理の前提のうち1つ目を満たし、 の近傍に局所座標系(chart) が存在し、その中で、

が成り立つ。外微分をとると、

となる。局所座標 の近傍のダルブー座標(Darboux chart)と呼ぶ。[4] 多様体 はそのような局所座標により被覆される。

別の言い方をするために、 により同一視する。 がダルブー座標であれば、 上の標準シンプレクティック形式 引き戻し英語版(pullback)

となる.

リーマン幾何学との比較

この結果は、シンプレクティック幾何学には局所不変量がないことを意味する。ダルブー基底英語版(Darboux basis)は与えられた任意の点の近傍で取ることができる。このことは、リーマン曲率が局所不変であることによって、計量を局所的に の二乗の和として書くことへの障害となっているリーマン幾何学の状況とは、極めて対照的である。

この差異は、ダルブーの定理では 近傍の内部全体で を標準的な形で書くことができるのに対し、リーマン幾何学では、与えられた任意の点で標準的な形に取ることはできるが、それが点の近傍ではいつも成立するとは限らないことから来ている。

関連項目

  • カラテオドリ・ヤコビ・リーの定理英語版(Carathéodory-Jacobi-Lie theorem)は、この定理の一般化である。
  • シンプレクティック基底英語版(Symplectic basis)

脚注

  1. ^ Darboux (1882).
  2. ^ Pfaff (1814–1815).
  3. ^ Sternberg (1964) p. 140–141.
  4. ^ Cf. with McDuff and Salamon (1998) p. 96.

参考文献

  • Darboux, Gaston (1882). “Sur le problème de Pfaff”. Bull. Sci. Math. 6: 14–36, 49–68. http://gallica.bnf.fr/ark:/12148/bpt6k68005v. 
  • Pfaff, Johann Friedrich (1814–1815). “Methodus generalis, aequationes differentiarum partialium nec non aequationes differentiales vulgates, ultrasque primi ordinis, inter quotcunque variables, complete integrandi”. Abhandlungen der Königlichen Akademie der Wissenschaften in Berlin: 76–136. 
  • Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall 
  • McDuff, D. and Salamon, D. (1998). Introduction to Symplectic Topology. Oxford University Press. ISBN 0-19-850451-9 

外部リンク




英和和英テキスト翻訳>> Weblio翻訳
英語⇒日本語日本語⇒英語
  

辞書ショートカット

すべての辞書の索引

「ダルブーの定理 (微分幾何学)」の関連用語

ダルブーの定理 (微分幾何学)のお隣キーワード
検索ランキング

   

英語⇒日本語
日本語⇒英語
   



ダルブーの定理 (微分幾何学)のページの著作権
Weblio 辞書 情報提供元は 参加元一覧 にて確認できます。

   
ウィキペディアウィキペディア
All text is available under the terms of the GNU Free Documentation License.
この記事は、ウィキペディアのダルブーの定理 (微分幾何学) (改訂履歴)の記事を複製、再配布したものにあたり、GNU Free Documentation Licenseというライセンスの下で提供されています。 Weblio辞書に掲載されているウィキペディアの記事も、全てGNU Free Documentation Licenseの元に提供されております。

©2025 GRAS Group, Inc.RSS