振り子の例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/04/09 07:28 UTC 版)
「状態空間 (制御理論)」の記事における「振り子の例」の解説
古典的な非線形システムとして、力を加えない単純な振り子を考える。 m l θ ¨ ( t ) = − m g sin θ ( t ) − k l θ ˙ ( t ) {\displaystyle ml{\ddot {\theta }}(t)=-mg\sin \theta (t)-kl{\dot {\theta }}(t)} ここで、 θ ( t ) {\displaystyle \theta (t)} は（重力の方向から見た）振り子の角度である。 m {\displaystyle m} は振り子の質量である（先端にのみ質量があると見なす）。 g {\displaystyle g} は重力加速度である。 k {\displaystyle k} は支点における摩擦係数である。 l {\displaystyle l} は振り子の長さ（回転半径）である（質量 m {\displaystyle m} の重心までの距離）。 すると、状態方程式は次のようになる。 x 1 ˙ ( t ) = x 2 ( t ) {\displaystyle {\dot {x_{1}}}(t)=x_{2}(t)} x 2 ˙ ( t ) = − g l sin x 1 ( t ) − k m x 2 ( t ) {\displaystyle {\dot {x_{2}}}(t)=-{\frac {g}{l}}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m}}{x_{2}}(t)} ここで、 x 1 ( t ) := θ ( t ) {\displaystyle x_{1}(t):=\theta (t)} は、振り子の角度である。 x 2 ( t ) := x 1 ˙ ( t ) {\displaystyle x_{2}(t):={\dot {x_{1}}}(t)} は、振り子の回転速度である。 x 2 ˙ = x 1 ¨ {\displaystyle {\dot {x_{2}}}={\ddot {x_{1}}}} は、振り子の回転加速度である。 状態方程式は、次のようにも書き表せる。 x ˙ ( t ) = ( x 1 ˙ ( t ) x 2 ˙ ( t ) ) = f ( t , x ( t ) ) = ( x 2 ( t ) − g l sin x 1 ( t ) − k m x 2 ( t ) ) {\displaystyle {\dot {x}}(t)=\left({\begin{matrix}{\dot {x_{1}}}(t)\\{\dot {x_{2}}}(t)\end{matrix}}\right)=\mathbf {f} (t,x(t))=\left({\begin{matrix}x_{2}(t)\\-{\frac {g}{l}}\sin {x_{1}}(t)-{\frac {k}{m}}{x_{2}}(t)\end{matrix}}\right)} システムの平衡/安定点は x ˙ = 0 {\displaystyle {\dot {x}}=0} のときであり、従って振り子の平衡点は以下が成り立つ場合である。 ( x 1 x 2 ) = ( n π 0 ) {\displaystyle \left({\begin{matrix}x_{1}\\x_{2}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}n\pi \\0\end{matrix}}\right)} ここで n は整数である。
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