意味の解釈に関する注意
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/25 03:10 UTC 版)
積分の理論には複数のものが存在する。微積分計算の立場からは、（特に指定がなければ）積分記号の意味として普通はリーマン積分の理論が仮定される。しかし広義積分を扱う際には、基礎となっている積分理論の区別が必要となることがある。 この積分 ∫ 0 ∞ d x 1 + x 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}} は、次のように解釈できる： lim b → ∞ ∫ 0 b d x 1 + x 2 = lim b → ∞ arctan b = π 2 {\displaystyle \lim _{b\to \infty }\int _{0}^{b}{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\lim _{b\to \infty }\arctan {b}={\frac {\pi }{2}}} しかし一般にはそう解釈する必然性はない。例えば集合 (0,∞) 上でのルベーグ積分としても解釈できる。とは言うものの、「有限区間上での定積分の極限」という解釈は便利である（便利なのは値の計算だけかもしれないが）。 対照的に、次の積分は、 ∫ 0 ∞ sin ( x ) x d x {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx} ルベーグ積分としては解釈できない。なぜなら ∫ 0 ∞ | sin ( x ) x | d x = ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|{\frac {\sin(x)}{x}}\right|\,dx=\infty } だからである。ゆえに上記の積分は「真の」広義積分であり、値は次式で与えられる： ∫ 0 ∞ sin ( x ) x d x = lim b → ∞ ∫ 0 b sin ( x ) x d x = π 2 {\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx=\lim _{b\rightarrow \infty }\int _{0}^{b}{\frac {\sin(x)}{x}}\,dx={\frac {\pi }{2}}} .
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