応用：ラプラス作用素とポアソン問題
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/07/29 02:48 UTC 版)
「ゴルディングの不等式」の記事における「応用：ラプラス作用素とポアソン問題」の解説
簡単な例として、ラプラス作用素 Δ を考える。より具体的に、f ∈ L2(Ω) に対して、次のポアソン方程式を解くことを考える。 { − Δ u ( x ) = f ( x ) , x ∈ Ω ; u ( x ) = 0 , x ∈ ∂ Ω ; {\displaystyle {\begin{cases}-\Delta u(x)=f(x),&x\in \Omega ;\\u(x)=0,&x\in \partial \Omega ;\end{cases}}} ここに Ω は Rn 内の有界なリプシッツ領域である。この問題に対応する弱形式は、次を満たす u をソボレフ空間 H01(Ω) 内で見つけることである。 B [ u , v ] = ⟨ f , v ⟩ for all v ∈ H 0 1 ( Ω ) . {\displaystyle B[u,v]=\langle f,v\rangle {\mbox{ for all }}v\in H_{0}^{1}(\Omega ).} ここに B [ u , v ] = ∫ Ω ∇ u ( x ) ⋅ ∇ v ( x ) d x , {\displaystyle B[u,v]=\int _{\Omega }\nabla u(x)\cdot \nabla v(x)\,\mathrm {d} x,} ⟨ f , v ⟩ = ∫ Ω f ( x ) v ( x ) d x {\displaystyle \langle f,v\rangle =\int _{\Omega }f(x)v(x)\,\mathrm {d} x} である。ラックス＝ミルグラムの補題によると、双線型形式 B が H01(Ω) 上のノルムに関して連続かつ楕円型であるなら、各 f ∈ L2(Ω) に対して唯一つの解 u が H01(Ω) 内に必ず存在することが分かる。ゴルディングの不等式の仮定は、ラプラス作用素に対して成立することは容易に分かるので、次を満たす定数 C と G ≥ 0 が存在する： B [ u , u ] ≥ C ‖ u ‖ H 1 ( Ω ) 2 − G ‖ u ‖ L 2 ( Ω ) 2 for all u ∈ H 0 1 ( Ω ) . {\displaystyle B[u,u]\geq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}-G\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ).} ポアンカレ不等式を適用することで、この右辺の二つの項は組み合わされ、新たな定数 K > 0 によって次のように書き換えることが出来る： B [ u , u ] ≥ K ‖ u ‖ H 1 ( Ω ) 2 for all u ∈ H 0 1 ( Ω ) . {\displaystyle B[u,u]\geq K\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{2}{\mbox{ for all }}u\in H_{0}^{1}(\Omega ).} これはまさしく B が楕円型であることを意味する。B の連続性はさらに容易に確かめられる。すなわち、コーシー＝シュワルツの不等式と、ソボレフノルムは勾配の L2 ノルムによって統制される事実をシンプルに適用すればよい。
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