市場ポートフォリオと接点ポートフォリオ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/16 04:08 UTC 版)
「資本資産価格モデル」の記事における「市場ポートフォリオと接点ポートフォリオ」の解説
CAPMが成立するならば、市場ポートフォリオと接点ポートフォリオは一致する。接点ポートフォリオを ϕ i T , i = 1 , … , n {\displaystyle \phi _{i}^{\mathrm {T} },i=1,\dots ,n} とすると、ジェームズ・トービンの分離定理より任意の投資家 j {\displaystyle j} の期待効用を最大化するリスク資産へのポートフォリオ ϕ i j , i = 1 , … , n {\displaystyle \phi _{i}^{j},i=1,\dots ,n} はある実数 γ j {\displaystyle \gamma ^{j}} を用いて ϕ i j = γ j ϕ i T , i = 1 , … , n {\displaystyle \phi _{i}^{j}=\gamma ^{j}\phi _{i}^{\mathrm {T} },i=1,\dots ,n} と表せる。よってリスク資産 i {\displaystyle i} の時価総額を V i {\displaystyle V_{i}} とし、投資家 j {\displaystyle j} の初期資産を W j {\displaystyle W^{j}} とすれば需給一致の条件から任意の i {\displaystyle i} について V i = ∑ j = 1 J W j ϕ i j = ∑ j = 1 J W j γ j ϕ i T = δ ϕ i T , δ = ∑ j = 1 J W j γ j {\displaystyle V_{i}=\sum _{j=1}^{J}W^{j}\phi _{i}^{j}=\sum _{j=1}^{J}W^{j}\gamma ^{j}\phi _{i}^{\mathrm {T} }=\delta \phi _{i}^{\mathrm {T} },\quad \delta =\sum _{j=1}^{J}W^{j}\gamma ^{j}} と表せる。したがってリスク資産の時価総額加重平均ポートフォリオ ϕ i m , i = 1 , … , n {\displaystyle \phi _{i}^{\mathrm {m} },i=1,\dots ,n} は、 ∑ i = 1 n ϕ i T = 1 {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\phi _{i}^{\mathrm {T} }=1} に注意すれば、 ϕ i m = V i ∑ l = 1 n V l = δ ϕ i T ∑ l = 1 n δ ϕ l T = ϕ i T {\displaystyle \phi _{i}^{\mathrm {m} }={\frac {V_{i}}{\sum _{l=1}^{n}V_{l}}}={\frac {\delta \phi _{i}^{\mathrm {T} }}{\sum _{l=1}^{n}\delta \phi _{l}^{\mathrm {T} }}}=\phi _{i}^{\mathrm {T} }} となり、確かに接点ポートフォリオと一致する。
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