局所構造の非存在
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/31 09:19 UTC 版)
多様体上の体積形式は、与えられた体積形式とユークリッド空間の体積形式とを識別する小さな開集合を持つことができないという意味で、局所構造を持たない。(Kobayashi 1972). すなわち、M のすべての点 p で、開近傍 U と U から Rn の中の開集合の上への微分同相写像 φ が存在し、U 上の体積形式が φ. に沿った d x 1 ∧ ⋯ ∧ d x n {\displaystyle dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}} の引き戻しである。 系として、M と N をそれぞれ体積形式 ω M , ω N {\displaystyle \omega _{M},\omega _{N}} を持つ 2つの多様体とすると、任意の点 m ∈ M , n ∈ N {\displaystyle m\in M,n\in N} に対し、m の開近傍 U と n の開近傍 V と写像 f : U → V {\displaystyle f\colon U\to V} が存在し、N 上の体積形式の V への制限が、M 上の体積形式の近傍 U への制限へ引き戻される。つまり、 f ∗ ω N | V = ω M | U {\displaystyle f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}} である。 従って、1-次元では次のことを証明することができる。 R {\displaystyle \mathbf {R} } 上の体積形式 ω {\displaystyle \omega } が与えられると、 f ( x ) := ∫ 0 x ω {\displaystyle f(x):=\int _{0}^{x}\omega } を定義することができる。すると、ルベーグ測度 d x {\displaystyle dx} は f : ω = f ∗ d x {\displaystyle f:\omega =f^{*}dx} の下で ω {\displaystyle \omega } へ引き戻される（英語版）(pulls back)。具体的には、 ω = f d x {\displaystyle \omega =f\,dx} である。高次元では、与えられた任意の点 m ∈ M {\displaystyle m\in M} で、 R × R n − 1 {\displaystyle \mathbf {R} \times \mathbf {R} ^{n-1}} と局所同相な近傍を持ち、同じプロセスを適用することができる。
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