局所有界変動
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/01/17 03:00 UTC 版)
先の定義 1.2, 2.1, 2.2 において、大域可積分函数を考える代わりに局所可積分函数の空間 L 1loc (Ω) を考えれば局所有界変動函数の空間が定まる。具体的に、定義 2.2 に対してこのような考えを適用するとき、Ω の（有限次元線型空間の標準位相に関する）前コンパクト開部分集合 U ∈ 𝒪c(Ω) における局所変動 (local variation) は V ( u , U ) = V U ( u ) := sup { ∫ Ω u ( x ) div φ ( x ) d x : φ ∈ C c 1 ( U , R n ) , ‖ φ ‖ ∞ ≤ 1 } {\displaystyle V(u,U)=V_{U}(u):=\sup \left\{\int _{\Omega }u(x)\operatorname {div} \varphi (x){\mathit {dx}}:\varphi \in C_{c}^{1}(U,\mathbb {R} ^{n}),\,\Vert \varphi \Vert _{\infty }\leq 1\right\}} として定義され、対応する局所有界変動函数のクラスが B V loc ( Ω ) = { u ∈ L loc 1 ( Ω ) : V ( u , U ) < + ∞ ( ∀ U ∈ O c ( Ω ) ) } {\displaystyle BV_{\text{loc}}(\Omega )=\{u\in L_{\text{loc}}^{1}(\Omega ):V(u,U)<+\infty \;(\forall U\in {\mathcal {O}}_{c}(\Omega ))\}} として定まる。
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