対数表現
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/19 19:27 UTC 版)
演算子は複素数平面で次のように定義される。 arsinh z = ln ( z + z 2 + 1 ) arcosh z = ln ( z + z + 1 z − 1 ) artanh z = 1 2 ln ( 1 + z 1 − z ) arcoth z = 1 2 ln ( z + 1 z − 1 ) arcsch z = ln ( 1 z + 1 z 2 + 1 ) arsech z = ln ( 1 z + 1 z + 1 1 z − 1 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \,z&=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,)\\[2.5ex]\operatorname {arcosh} \,z&=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,)\\[1.5ex]\operatorname {artanh} \,z&={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)\\\operatorname {arcoth} \,z&={\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)\\\operatorname {arcsch} \,z&=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right)\\\operatorname {arsech} \,z&=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\,\right)\end{aligned}}} 上記の平方根は正の平方根であり、対数関数は複素対数である。実数の引数、例えばz = xは実数値を返すが、一定の簡素化を行うことが可能であり、例えば x + 1 x − 1 = x 2 − 1 {\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}}} は正の平方根を使うとき、一般に真ではない。 arsinh ( z ) {\displaystyle \operatorname {arsinh} (z)} arcosh ( z ) {\displaystyle \operatorname {arcosh} (z)} artanh ( z ) {\displaystyle \operatorname {artanh} (z)} arcoth ( z ) {\displaystyle \operatorname {arcoth} (z)} arsech ( z ) {\displaystyle \operatorname {arsech} (z)} arcsch ( z ) {\displaystyle \operatorname {arcsch} (z)} z平面（複素数平面）における逆双曲線関数：平面における各点の色はその点における関数の複素数を表す。
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