対応する電磁場
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/22 08:10 UTC 版)
「リエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャル」の記事における「対応する電磁場」の解説
電磁ポテンシャルの定義から直接、電場および磁場を求めることができる。 E = − ∇ φ − ∂ A ∂ t , {\displaystyle {\boldsymbol {E}}=-\nabla \varphi -{\dfrac {\partial {\boldsymbol {A}}}{\partial t}}\,,} B = ∇ × A . {\displaystyle {\boldsymbol {B}}=\nabla \times {\boldsymbol {A}}\,.} 具体的な電磁ポテンシャルとしてリエナール・ヴィーヘルト・ポテンシャルを与えると次の共変でない電磁場の表式が得られる。 E ( r , t ) = 1 4 π ϵ 0 ( q ( n − β ) γ 2 ( 1 − n ⋅ β ) 3 | r − r s | 2 + q n × ( ( n − β ) × β ˙ ) c ( 1 − n ⋅ β ) 3 | r − r s | ) t r , {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {q({\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }})}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\beta }})^{3}|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }|^{2}}}+{\frac {q{\boldsymbol {n}}\times {\big (}({\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}{\big )}}{c(1-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\beta }})^{3}|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }|}}\right)_{t_{\mathrm {r} }}\,,} B ( r , t ) = μ 0 4 π ( q c ( β × n ) γ 2 ( 1 − n ⋅ β ) 3 | r − r s | 2 + q n × ( n × ( ( n − β ) × β ˙ ) ) ( 1 − n ⋅ β ) 3 | r − r s | ) t r = n ( t r ) c × E ( r , t ) . {\displaystyle {\boldsymbol {B}}({\boldsymbol {r}},t)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({\frac {qc({\boldsymbol {\beta }}\times {\boldsymbol {n}})}{\gamma ^{2}(1-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\beta }})^{3}|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }|^{2}}}+{\frac {q{\boldsymbol {n}}\times {\Big (}{\boldsymbol {n}}\times {\big (}({\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }})\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}{\big )}{\Big )}}{(1-{\boldsymbol {n}}\cdot {\boldsymbol {\beta }})^{3}|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{\mathrm {s} }|}}\right)_{t_{\mathrm {r} }}={\frac {{\boldsymbol {n}}(t_{\mathrm {r} })}{c}}\times {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)\,.} ここで γ ( t ) = 1 1 − | β ( t ) | 2 {\displaystyle \gamma (t)={\frac {1}{\sqrt {1-|{\boldsymbol {\beta }}(t)|^{2}}}}} はローレンツ因子である。 もし電荷が一定の速度 c β {\displaystyle c{\boldsymbol {\beta }}} で運動する場合、速度因子の時間微分 β ˙ ( t ) = d β ( t ) d t {\displaystyle {\dot {\boldsymbol {\beta }}}(t)={\frac {d{\boldsymbol {\beta }}(t)}{dt}}} はゼロになるので、電場は n − β {\displaystyle {\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }}} の項だけが残る。このとき電場の向きは n − β {\displaystyle {\boldsymbol {n}}-{\boldsymbol {\beta }}} によって決まる。電場の初項は、特に速度因子がゼロ β ( t ) = 0 {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}(t)=0} の場合には、電荷 q {\displaystyle q} の点電荷がつくる静電場に一致し、電荷のつくる電磁場の静的な部分を表している。 第二項は運動する電荷が放射する電磁波に対応する。位置 r {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} で電場 E ( r , t ) {\displaystyle {\boldsymbol {E}}({\boldsymbol {r}},t)} を観測するとき、電荷と観測点を結ぶ方向に直交するように電荷が加速されると第二項の輻射項が観測される。この輻射項の電磁場の向きは遅延時間における電荷の位置を向いている。
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