密着一様構造と離散一様構造
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/08/22 02:34 UTC 版)
「一様空間」の記事における「密着一様構造と離散一様構造」の解説
本節では位相空間における密着位相、離散位相と同様、一様空間でも密着一様構造、離散一様構造が定義できる事を見る。 定義・定理 (密着一様構造) ― Xを集合とするとき、一元集合 { X × X } {\displaystyle \{X\times X\}} は一様構造の公理を満たす。この一様構造を密着一様構造[訳語疑問点]（英: indiscrete uniformity）という。密着一様構造が定める位相は密着位相と一致する。 定義・定理 (離散一様構造) ― Xを集合とし、 Δ X = { ( x , x ) ∈ X × X } {\displaystyle \Delta _{X}=\{(x,x)\in X\times X\}} をX × Xの対角線とする。このとき、対角線を含む全ての部分集合の集合 { U ⊂ X × X ∣ U ⊃ Δ X } {\displaystyle \{U\subset X\times X\mid U\supset \Delta _{X}\}} は一様構造の公理を満たす。この一様構造を離散一様構造[訳語疑問点]（英: discrete uniformity）という。離散一様構造が定める位相は離散位相と一致する。 密着一様構造はX × X上恒等的に0になる擬距離から定まる一様構造と一致し、離散一様構造は離散距離 d ( x , y ) = { 0 if x = y 1 otherwise {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&{\text{if }}x=y\\1&{\text{otherwise}}\end{cases}}} から定まる一様構造と一致する。しかし下記に示すように、X上に離散位相を定める距離dであっても、dから定まる一様構造が離散一様構造ではないケースが存在する： 具体例 ― 整数の集合 Z {\displaystyle \mathbb {Z} } に距離 d ( x , y ) = | arctan ( x ) − arctan ( y ) | {\displaystyle d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|} を入れると、dから定まる一様構造は離散一様構造ではないが、dから定まる位相は離散位相である。 証明 dから定まる位相構造が離散位相である事は明らかなので、dから定まる一様構造は離散一様構造ではない事のみを証明する。 x → ∞のとき、arctan(x)は有限の極限（= 1）を持つので、任意のε > 0に対し、 U ε := { ( x , y ) ∈ Z ∣ d ( x , y ) < ε } {\displaystyle U_{\varepsilon }:=\{(x,y)\in \mathbb {Z} \mid d(x,y)<\varepsilon \}} は対角線 Δ = { ( x , x ) ∣ x ∈ Z } {\displaystyle \Delta =\{(x,x)\mid x\in \mathbb {Z} \}} 以外に無限個の元を持つ。よって、 Δ ⊊ U ε {\displaystyle \Delta \subsetneq U_{\varepsilon }} であるので、dにより定まる一様構造 U d {\displaystyle {\mathcal {U}}_{d}} は定義より、 Δ ∉ U d {\displaystyle \Delta \notin {\mathcal {U}}_{d}} であり、 U d {\displaystyle {\mathcal {U}}_{d}} は離散一様構造ではない。
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