密着位相、離散位相、補有限位相、補可算位相
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
「位相空間」の記事における「密着位相、離散位相、補有限位相、補可算位相」の解説
定義・定理 ― Xを集合とする。このとき以下は位相の公理を満たす。 空集合 ∅ {\displaystyle \emptyset } と全体集合Xのみを開集合とする位相を密着位相という。 Xの任意の部分集合を開集合とする位相をXの離散位相という。 Xの任意の有限部分集合と全体集合を閉集合とする位相をXの補有限位相という。 Xの任意の可算部分集合と全体集合を閉集合とする位相をXの補可算位相（英語版）という。 密着位相と離散位相はいわば「両極端」の人工的な位相構造に過ぎないが、これらの位相構造は、位相に関する命題の反例として用いられる事がある。またこれらの位相構造は、任意の集合上に位相構造を定義できる事を意味している。 離散位相はX上に離散距離 d ( x , y ) = { 0 x = y 1 otherwise {\displaystyle d(x,y)={\begin{cases}0&x=y\\1&{\text{otherwise}}\end{cases}}} をいれたときに距離から定まる位相と一致する。 Xが1元集合、有限集合、可算集合の場合は明らかに密着位相、補有限位相、補可算位相はいずれも離散位相に一致する。それ以外の場合、すなわちXが2元以上ある集合、無限集合、非可算集合の場合は、密着位相、補有限位相、補可算位相はX上のいかなる距離から定まる位相とも一致しない。
※この「密着位相、離散位相、補有限位相、補可算位相」の解説は、「位相空間」の解説の一部です。
「密着位相、離散位相、補有限位相、補可算位相」を含む「位相空間」の記事については、「位相空間」の概要を参照ください。
- 密着位相、離散位相、補有限位相、補可算位相のページへのリンク
