大域構造である体積
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/31 09:19 UTC 版)
連結多様体 M 上の体積形式は、唯一の大域不変量を持っている。すなわち、体積 μ ( M ) {\displaystyle \mu (M)} であり、写像で保存される体積形式の不変量である。 R n {\displaystyle \mathbf {R} ^{n}} のルベーグ体積な無限大も可能である。不連続な多様体上では、各々の連結成分の体積が不変量である。 記号として、 f : M → N {\displaystyle f\colon M\to N} は、 ω N {\displaystyle \omega _{N}} を ω M {\displaystyle \omega _{M}} へ引き戻す多様体の同相写像であるので、 μ ( N ) = ∫ N ω N = ∫ f ( M ) ω N = ∫ M f ∗ ω N = ∫ M ω M = μ ( M ) {\displaystyle \mu (N)=\int _{N}\omega _{N}=\int _{f(M)}\omega _{N}=\int _{M}f^{*}\omega _{N}=\int _{M}\omega _{M}=\mu (M)} であり、多様体は同じ体積を持つ。 体積形式は、被覆写像の下での引き戻しでもあり、ファイバー上の数値（公式にはファイバーに沿った積分により）を掛けることにより体積を得る。無限個のシートの被覆（ R → S 1 {\displaystyle \mathbf {R} \to S^{1}} のような）の場合は、有限体積を持つ多様体上の体積形式は、無限の体積を持つ多様体の上の体積形式の引き戻しである。
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