体積形式の不変量
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/31 09:19 UTC 版)
体積形式は一意には決まらなく、次のように多様体の上の 0 にならないテンソルを形成する。M 上の 0 にならない函数 f と体積形式 ω {\displaystyle \omega } が与えられると、 f ω {\displaystyle f\omega } も M 上の体積形式である。逆に、2つの体積形式 ω , ω ′ {\displaystyle \omega ,\omega '} が与えられると、それらの比率は 0 にならない函数（定義が同一方向の向き付けであれば、正、逆方向の向き付けであれば、負）である。 座標系で表すと、両方とも、単純に 0 とならない函数にルベーグ測度をかけると得られるので、それらの比率は函数の比率になり、座標の選択とは独立な値となる。本質的には、 ω {\displaystyle \omega } に関して ω ′ {\displaystyle \omega '} のラドン・ニコディム微分である。向き付けられた多様体上で、2つの体積形式の比例性は、ラドン・ニコディムの定理の幾何学的な形と考えることができる。
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