基本的な例：自由粒子と調和振動子のプロパゲーター
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/02/18 07:38 UTC 版)
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時間遷移不変な系に対し、プロパゲーターは時間の差異 (t−t') のみに依存するので、式は次のように書き換えることができる。 K ( x , t ; x ′ , t ′ ) = K ( x , x ′ ; t − t ′ ) . {\displaystyle K(x,t;x',t')=K(x,x';t-t')~.} 1次元の自由粒子のプロパゲーターは、鞍点近似（英語版）を通じて、右を無限遠点として表現 は、次のようになる。 K ( x , x ′ ; t ) = 1 2 π ∫ − ∞ + ∞ d k e i k ( x − x ′ ) e − i ℏ k 2 t / ( 2 m ) = ( m 2 π i ℏ t ) 1 / 2 e − m ( x − x ′ ) 2 / ( 2 i ℏ t ) . {\displaystyle K(x,x';t)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{+\infty }dk\,e^{ik(x-x')}e^{-i\hbar k^{2}t/(2m)}=\left({\frac {m}{2\pi i\hbar t}}\right)^{1/2}e^{-m(x-x')^{2}/(2i\hbar t)}~.} 1次元調和振動子のプロパゲーターは、メーラー核（英語版）(Mehler kernel) K ( x , x ′ ; t ) = ( m ω 2 π i ℏ sin ω t ) 1 / 2 exp ( − m ω ( ( x 2 + x ′ 2 ) cos ω t − 2 x x ′ ) 2 i ℏ sin ω t ) . {\displaystyle K(x,x';t)=\left({\frac {m\omega }{2\pi i\hbar \sin \omega t}}\right)^{1/2}\exp \left(-{\frac {m\omega ((x^{2}+x'^{2})\cos \omega t-2xx')}{2i\hbar \sin \omega t}}\right)~.} である。N-次元の場合は、プロパゲーターは、積 K ( x → , x → ′ ; t ) = ∏ q = 1 N K ( x q , x q ′ ; t ) . {\displaystyle K({\vec {x}},{\vec {x}}';t)=\prod _{q=1}^{N}K(x_{q},x_{q}';t)~.} により容易に得ることができる。
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