同居人探しゲーム
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/14 15:20 UTC 版)
「シグナリングゲーム」の記事における「同居人探しゲーム」の解説
以下のゲームでは、共同生活をしている人たち (プレーヤー 2) が、新しい同居人を探している。いま住んでいる人たちはみなとても陽気な人たちなので、新しく空き部屋に入る同居人には、やはりおもしろい人を求めている。そこでプレーヤー 2 はオーディションをして新しい同居人を探そうと考える。応募者 (プレーヤー 1) がおもしろいタイプ (t1) なのかまじめなタイプ (t2) なのか確かめるため、プレーヤー 2 はオーディションのさいにリビングテーブルの上にピエロの赤い鼻を載せておく。まじめなタイプならば絶対にそれをつけたりしない (行動 a2) だろうからである。 プレーヤー 2 は、応募者であるプレーヤー 1 を受けいれる (yes) か拒否する (no) かを決定できる。おもしろいタイプのプレーヤー 1 はふざけたことが好きなので、この鼻をつける行動 (a1) を喜んでとり、そこから利得 5 を得る。まじめなタイプのプレーヤー 1 は、この鼻をつけるという行為を恥ずかしいと考え、これをつけさせられた場合 −5 の利得を得る。 プレーヤー 2 は、おもしろい同居人を見つけられたならば、それによって利得 4 を得る。一方、まじめなタイプの同居人の場合、追加的な家賃収入が入ることのメリットを完全に打ち消してしまい、プレーヤー 2 の利得は 0 になる。プレーヤー 1 は、部屋が得られたときには、いずれの場合も利得 4 を得る。プレーヤー 1 がおもしろいタイプである確率 p は、外生的に与えられているものとする。 ゲームの進行： 第 1 段階: 自然 N がプレーヤー 1 のタイプを選び、確率 p でおもしろいタイプ t1 とする。 第 2 段階: プレーヤー 1 は自分のタイプ tj に応じた戦略を選ぶ：プレーヤー 1 は、自分がタイプ t1 のとき、厳密に行動 a1 をとる。 プレーヤー 1 は、自分がタイプ t2 のとき、厳密に行動 a2 をとる。 第 3 段階: プレーヤー 2 は、観察されたシグナル ak に従って、プレーヤー 1 を受けいれるか拒否するかを決定する：プレーヤー 2 は、シグナル a1 を観察したとき、厳密に行動 yes をとる。 プレーヤー 2 は、シグナル a2 を観察したとき、厳密に行動 no をとる。 プレーヤー 1 の戦略の選択を通して、タイプ t1 にとっての行動 a2 と、タイプ t2 にとっての行動 a1 から始まる部分ゲームツリー (Teilspielbäume, 情報集合でつながっているのでこれはふつう部分ゲームとは言わないが) は排除される。それらはいずれも強く支配される戦略だからである。したがって、プレーヤー 2 のもつ信念は、α = 1, β = 0 となる。 結果は分離均衡になる：均衡戦略は、プレーヤー 1 が (a1, a2) (これは、自分のタイプが t1 だったならば [確率 1 で] 行動 a1 をとり、タイプが t2 だったならば [確率 1 で] 行動 a2 をとる、という戦略を表す)、プレーヤー 2 が (yes, no) (これは、シグナル a1 を観測したならば [確率 1 で] 応答行動 yes をとり、シグナル a2 を観測したならば [確率 1 で] 応答行動 no をとる、という戦略を表す) で、信念は α = 1, β = 0. したがって、両プレーヤーの利得は、プレーヤー 2 がおもしろいタイプであるかまじめなタイプであるかの確率にのみ依存することになる。p = 0.5 のとき、期待利得は次のようになる： U 1 = p ⋅ U 2 ( t 1 , a 1 , yes ) + ( 1 − p ) ⋅ U 2 ( t 2 , a 2 , no ) = 0.5 × 9 + 0.5 × 0 = 4.5 , U 2 = p ⋅ U 1 ( t 1 , a 1 , yes ) + ( 1 − p ) ⋅ U 1 ( t 2 , a 2 , no ) = 0.5 × 4 + 0.5 × 0 = 2. {\displaystyle {\begin{aligned}U_{1}&=p\cdot U_{2}(t_{1},a_{1},{\mbox{yes}})+(1-p)\cdot U_{2}(t_{2},a_{2},{\mbox{no}})\\&=0.5\times 9+0.5\times 0=4.5,\\U_{2}&=p\cdot U_{1}(t_{1},a_{1},{\mbox{yes}})+(1-p)\cdot U_{1}(t_{2},a_{2},{\mbox{no}})\\&=0.5\times 4+0.5\times 0=2.\\\end{aligned}}}
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