同値の時間
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/17 09:33 UTC 版)
時間データに同値がある場合に対処するために、いくつかの方法が提案されている。Breslow法（Breslow's method）は、同値が存在する場合でも、上述の手順を変更せずに使用するアプローチである。より良い結果が得られると考えられる別のアプローチとして、Efron法（Efron's method）がある。tj を一意の時間とし、 Hj を Yi = tj かつ Ci = 1となるインデックス i の集合とし、mj = |Hj| とする。Efronのアプローチは、次の部分尤度を最大化する。 L ( β ) = ∏ j ∏ i ∈ H j θ i ∏ ℓ = 0 m − 1 [ ∑ i : Y i ≥ t j θ i − ℓ m ∑ i ∈ H j θ i ] . {\displaystyle L(\beta )=\prod _{j}{\frac {\prod _{i\in H_{j}}\theta _{i}}{\prod _{\ell =0}^{m-1}\left[\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}\right]}}.} 対応する対数部分尤度は、 ℓ ( β ) = ∑ j ( ∑ i ∈ H j X i ⋅ β − ∑ ℓ = 0 m − 1 log ( ∑ i : Y i ≥ t j θ i − ℓ m ∑ i ∈ H j θ i ) ) , {\displaystyle \ell (\beta )=\sum _{j}\left(\sum _{i\in H_{j}}X_{i}\cdot \beta -\sum _{\ell =0}^{m-1}\log \left(\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}\right)\right),} スコア関数は、 ℓ ′ ( β ) = ∑ j ( ∑ i ∈ H j X i − ∑ ℓ = 0 m − 1 ∑ i : Y i ≥ t j θ i X i − ℓ m ∑ i ∈ H j θ i X i ∑ i : Y i ≥ t j θ i − ℓ m ∑ i ∈ H j θ i ) , {\displaystyle \ell ^{\prime }(\beta )=\sum _{j}\left(\sum _{i\in H_{j}}X_{i}-\sum _{\ell =0}^{m-1}{\frac {\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}X_{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}X_{i}}{\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}}}\right),} そしてヘッセ行列は、 ℓ ′ ′ ( β ) = − ∑ j ∑ ℓ = 0 m − 1 ( ∑ i : Y i ≥ t j θ i X i X i ′ − ℓ m ∑ i ∈ H j θ i X i X i ′ ϕ j , ℓ , m − Z j , ℓ , m Z j , ℓ , m ′ ϕ j , ℓ , m 2 ) , {\displaystyle \ell ^{\prime \prime }(\beta )=-\sum _{j}\sum _{\ell =0}^{m-1}\left({\frac {\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}X_{i}X_{i}^{\prime }-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}X_{i}X_{i}^{\prime }}{\phi _{j,\ell ,m}}}-{\frac {Z_{j,\ell ,m}Z_{j,\ell ,m}^{\prime }}{\phi _{j,\ell ,m}^{2}}}\right),} であり、ここに ϕ j , ℓ , m = ∑ i : Y i ≥ t j θ i − ℓ m ∑ i ∈ H j θ i {\displaystyle \phi _{j,\ell ,m}=\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}} Z j , ℓ , m = ∑ i : Y i ≥ t j θ i X i − ℓ m ∑ i ∈ H j θ i X i . {\displaystyle Z_{j,\ell ,m}=\sum _{i:Y_{i}\geq t_{j}}\theta _{i}X_{i}-{\frac {\ell }{m}}\sum _{i\in H_{j}}\theta _{i}X_{i}.} となる。なお、Hj が空の場合（時刻 tj のすべての観測値が打ち切られる）、これらの式の被加数はゼロとして扱われることに注意すること。
※この「同値の時間」の解説は、「比例ハザードモデル」の解説の一部です。
「同値の時間」を含む「比例ハザードモデル」の記事については、「比例ハザードモデル」の概要を参照ください。
- 同値の時間のページへのリンク
