同値性が成り立たない例
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/11/18 03:04 UTC 版)
「ボレル総和」の記事における「同値性が成り立たない例」の解説
次の例は(Hardy 1992)での例を拡張したものである。次の級数 A ( z ) = ∑ k = 0 ∞ ( ∑ l = 0 ∞ ( − 1 ) l ( 2 l + 2 ) k ( 2 l + 1 ) ! ) z k {\displaystyle A(z)=\sum _{k=0}^{\infty }\left(\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{l}(2l+2)^{k}}{(2l+1)!}}\right)z^{k}} を考える。和の順序を変更することで、ボレル変換は B ( A ) ( t ) = ∑ l = 0 ∞ ( ∑ k = 0 ∞ ( ( 2 l + 2 ) t ) k k ! ) ( − 1 ) l ( 2 l + 1 ) ! = ∑ l = 0 ∞ e ( 2 l + 2 ) t ( − 1 ) l ( 2 l + 1 ) ! = e t ∑ l = 0 ∞ ( − 1 ) l ( e t ) 2 l + 1 ( 2 l + 1 ) ! = e t sin ( e t ) {\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {B}}(A)(t)&=\sum _{l=0}^{\infty }\left(\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{\bigl (}(2l+2)t{\bigr )}^{k}}{k!}}\right){\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=\sum _{l=0}^{\infty }e^{(2l+2)t}{\frac {(-1)^{l}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sum _{l=0}^{\infty }(-1)^{l}{\frac {{\big (}e^{t}{\big )}^{2l+1}}{(2l+1)!}}\\&=e^{t}\sin(e^{t})\end{aligned}}} と計算できる。z = 2 におけるボレル和は ∫ 0 ∞ e t sin ( e 2 t ) d t = ∫ 1 ∞ sin ( u 2 ) d u = π 8 − S ( 1 ) < ∞ {\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{t}\sin(e^{2t})\,dt=\int _{1}^{\infty }\sin(u^{2})\,du={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}-S(1)<\infty } となる（ここに、S(x) はフレネル積分を表す）。線分に沿って収束定理を適用することにより、ボレル積分は z ≤ 2 を満たすすべての z に対して収束する（明らかに z > 2 を満たす z に対しては積分は発散する）。弱-ボレル和について、 lim t → ∞ e − t ( 1 − z ) sin ( e t z ) = 0 {\displaystyle \lim _{t\to \infty }e^{-t(1-z)}\sin(e^{tz})=0} が成立するのは z < 1 のみであるから、弱-ボレル和はこの領域でのみ収束する。
※この「同値性が成り立たない例」の解説は、「ボレル総和」の解説の一部です。
「同値性が成り立たない例」を含む「ボレル総和」の記事については、「ボレル総和」の概要を参照ください。
- 同値性が成り立たない例のページへのリンク
