合併および直積に対する振る舞い
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/14 10:21 UTC 版)
「ハウスドルフ次元」の記事における「合併および直積に対する振る舞い」の解説
有限または可算合併 X = ⋃ i ∈ I X i {\textstyle X=\bigcup _{i\in I}X_{i}} に対し、 dim Haus ( X ) = sup i ∈ I dim Haus ( X i ) {\displaystyle \operatorname {\dim _{\text{Haus}}} (X)=\sup _{i\in I}\operatorname {\dim _{\text{Haus}}} (X_{i})} が成立することは定義から直接に確かめられる。 X および Y が空でない距離空間ならば、それらの直積のハウスドルフ次元は dim t e x t H a u s ( X × Y ) ≥ dim Haus ( X ) + dim Haus ( Y ) {\displaystyle \operatorname {\dim _{t}ext{Haus}} (X\times Y)\geq \operatorname {\dim _{\text{Haus}}} (X)+\operatorname {\dim _{\text{Haus}}} (Y)} を満たす[要ページ番号]。ここで等号が成り立たない場合も起こり得る。実際、次元 0 の二つの集合で、それらの直積の次元が 1 であるものが存在する[要ページ番号]。逆向きの不等号を持つような次元の不等式として、X, Y を Rn のボレル集合とすれば、直積 X × Y のハウスドルフ次元は X のハウスドルフ次元と Y の上パッキング次元の和で上から抑えられることが知られている。これらについて、Mattila (1995)に議論がある。
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