単純なベクトル場
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:19 UTC 版)
「回転 (ベクトル解析)」の記事における「単純なベクトル場」の解説
x と y に線型に依存するベクトル場 F ( x , y , z ) = y x ^ − x y ^ {\displaystyle \mathbf {F} (x,y,z)=y{\hat {\mathbf {x} }}-x{\hat {\mathbf {y} }}} をとれば、これは のような様子で、見た目通りこの場が「回転」していることがわかる。この場に、どこでもよいから外輪 (paddle wheel) を置けば、外輪が時計回りに回転することはすぐに分かる。右手系に従うならば、この「回転」は、画面に向かって垂直に入る向きであることが期待される。右手系に座標系を取るのであれば、画面へ垂直に向かっていく方向は負の z-方向である。ここに x, y が出てこない（xy-平面に直交する）ことは交叉積と同様である。 さて、この場の回転を計算すれば、 ∇ × F = 0 x ^ + 0 y ^ + [ ∂ ∂ x ( − x ) − ∂ ∂ y y ] z ^ = − 2 z ^ {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =0{\hat {\mathbf {x} }}+0{\hat {\mathbf {y} }}+\left[{\frac {\partial }{\partial x}}(-x)-{\frac {\partial }{\partial y}}y\right]{\hat {\mathbf {z} }}=-2{\hat {\mathbf {z} }}} となり、これは期待した通り、実際に負の z 方向を指す。上記の回転量はどの点 (x, y) でも同じであり、F の回転を図にしたものは非常につまらないものになる：
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