効率的な級数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/26 01:11 UTC 版)
∑ k = 0 ∞ k ! ( 2 k + 1 ) ! ! = ∑ k = 0 ∞ 2 k k ! 2 ( 2 k + 1 ) ! = π 2 {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}} 12 ∑ k = 0 ∞ ( − 1 ) k ( 6 k ) ! ( 13591409 + 545140134 k ) ( 3 k ) ! ( k ! ) 3 640320 3 k + 3 / 2 = 1 π {\displaystyle 12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}={\frac {1}{\pi }}} （Chudnovsky algorithm） 2 2 9801 ∑ k = 0 ∞ ( 4 k ) ! ( 1103 + 26390 k ) ( k ! ) 4 396 4 k = 1 π {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}={\frac {1}{\pi }}} （シュリニヴァーサ・ラマヌジャン） 12 ( 1249638720 + 159999840 61 ) 3 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n ( 6 n ) ! ( 1657145277365 + 212175710912 61 + ( 107578229802750 + 3773980892672 61 ) n ) ( 3 n ) ! ( n ! ) 3 ( 1249638720 + 159999840 61 ) n = 1 π {\displaystyle {\frac {12}{\sqrt {(1249638720+159999840{\sqrt {61}})^{3}}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(6n)!(1657145277365+212175710912{\sqrt {61}}+(107578229802750+3773980892672{\sqrt {61}})n)}{(3n)!(n!)^{3}(1249638720+159999840{\sqrt {61}})^{n}}}={\frac {1}{\pi }}} (Borwein) 3 6 5 ∑ k = 0 ∞ ( ( 4 k ) ! ) 2 ( 6 k ) ! 9 k + 1 ( 12 k ) ! ( 2 k ) ! ( 127169 12 k + 1 − 1070 12 k + 5 − 131 12 k + 7 + 2 12 k + 11 ) = π {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{6^{5}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {((4k)!)^{2}(6k)!}{9^{k+1}(12k)!(2k)!}}\left({\frac {127169}{12k+1}}-{\frac {1070}{12k+5}}-{\frac {131}{12k+7}}+{\frac {2}{12k+11}}\right)=\pi } 以下は、円周率の任意の桁を2進数で求められる効率的な数式である。 ∑ k = 0 ∞ 1 16 k ( 4 8 k + 1 − 2 8 k + 4 − 1 8 k + 5 − 1 8 k + 6 ) = π {\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi } （ベイリー＝ボールウェイン＝プラウフの公式） 1 2 6 ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n 2 10 n ( − 2 5 4 n + 1 − 1 4 n + 3 + 2 8 10 n + 1 − 2 6 10 n + 3 − 2 2 10 n + 5 − 2 2 10 n + 7 + 1 10 n + 9 ) = π {\displaystyle {\frac {1}{2^{6}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{n}}{2^{10n}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4n+1}}-{\frac {1}{4n+3}}+{\frac {2^{8}}{10n+1}}-{\frac {2^{6}}{10n+3}}-{\frac {2^{2}}{10n+5}}-{\frac {2^{2}}{10n+7}}+{\frac {1}{10n+9}}\right)=\pi }
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