内核作用素・閉包作用素による位相の特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/04 05:30 UTC 版)
「位相空間」の記事における「内核作用素・閉包作用素による位相の特徴づけ」の解説
( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} を位相空間とするとき、 写像 A ⊂ X ↦ A ∘ {\displaystyle A\subset X\mapsto A^{\circ }} を内核作用素という。 写像 A ⊂ X ↦ A ¯ {\displaystyle A\subset X\mapsto {\bar {A}}} を閉包作用素という。 本項ではこれまで、開集合系を使って位相空間を定義し、これをベースに内核作用素を定義したが、逆に上述の性質を満たす内核作用素の概念を使って位相空間を定義し、これを使って開集合と定義する事も可能である。すなわち以下が成立する： 定理 (内核作用素による位相の特徴づけ) ― Xを集合とし、Xの冪集合からそれ自身への写像 I n t : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle \mathrm {Int} ~:~{\mathfrak {P}}(X)\to {\mathfrak {P}}(X)} で、 A ∘ := I n t ( A ) {\displaystyle A^{\circ }:=\mathrm {Int} (A)} が「定理（内核作用素の性質）」で述べた4性質を満たすものとする。 このときX上の位相構造 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} で位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の内核作用素が I n t {\displaystyle \mathrm {Int} } に一致するものがただ一つ存在する O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の開集合系 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} は具体的には以下のように書ける： O = { O ⊂ X ∣ O = I n t ( O ) } {\displaystyle {\mathcal {O}}=\{O\subset X\mid O=\mathrm {Int} (O)\}} A ¯ = ( ( A c ) ∘ ) c {\displaystyle {\bar {A}}=((A^{c})^{\circ })^{c}} である事を用いて、以上の結果を閉包作用素の結果に翻訳できる： 定理 (閉包作用素による位相の特徴づけ) ― Xを集合とし、Xの冪集合からそれ自身への写像 C l : P ( X ) → P ( X ) {\displaystyle \mathrm {Cl} ~:~{\mathfrak {P}}(X)\to {\mathfrak {P}}(X)} で、 A ¯ := C l ( A ) {\displaystyle {\bar {A}}:=\mathrm {Cl} (A)} がクラトウスキイの公理系を満たすものとする。 このときX上の位相構造 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} で位相空間 ( X , O ) {\displaystyle (X,{\mathcal {O}})} の閉包作用素が A ¯ = C l ( A ) {\displaystyle {\bar {A}}=\mathrm {Cl} (A)} に一致するものがただ一つ存在する。 O {\displaystyle {\mathcal {O}}} の閉集合系 F {\displaystyle {\mathcal {F}}} は具体的には以下のように書ける： F = { F ⊂ X ∣ F = F ¯ } {\displaystyle {\mathcal {F}}=\{F\subset X\mid F={\bar {F}}\}}
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