共役集合と共役部分群とは? わかりやすく解説

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共役集合と共役部分群

出典: フリー百科事典『ウィキペディア(Wikipedia)』 (2022/03/06 08:51 UTC 版)

共役類」の記事における「共役集合と共役部分群」の解説

群 G の部分集合 S (S は部分群である必要はない)と g ∈ G に対して Sg = g−1Sg = { g−1sg | s ∈ S } を S の g による共役集合という。SG部分集合 S の群 G における共役集合からなる集合とする。次の定理はよく使われる。 G の部分集合 S が与えられたとき、SG の元の数は G における S の正規化群 NG(S) の指数等しい: |SG| = [G : NG(S)]. これは G の元 g と h に対して Sg = Sh であることと gh−1 が NG(S) の元であること——つまり g と h が NG(S) を法として等しいこと——の同値性から従う。 この公式は共役類の元の数に対す前に与えられたものを一般化することに注意しよう(S = {a} とせよ)。 上記は G の部分群について話すときに特に有用である。部分群のなす集合共役部分群分割できる共役部分群同型であるが、同型部分群共役であるとは限らない。たとえば、アーベル群同型2 つ異な部分群をもつかもしれないが、それらは決し共役でない。一方でシロー部分群互いに共役である(シローの定理)。また、部分群 H がそのすべての共役部分群一致することは部分群正規部分群であることに他ならない

※この「共役集合と共役部分群」の解説は、「共役類」の解説の一部です。
「共役集合と共役部分群」を含む「共役類」の記事については、「共役類」の概要を参照ください。

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