偏逆写像
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/05/06 14:32 UTC 版)
写像 f が一対一でない場合にも、f の偏逆写像もしくは逆部分写像 (partial inverse) を始域を制限することによって定義することができる。たとえば函数 f ( x ) = x 2 {\displaystyle f(x)=x^{2}} は x2 = (−x)2 となるから一対一ではない。しかし、x ≥ 0 に始域を制限すれば一対一になり、このとき f − 1 ( y ) = y {\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}} となる（定義域を x ≤ 0 に制限したときは、逆函数は負の平方根を与えるものになる）。あるいは、逆函数を多価函数 f − 1 ( y ) = ± y {\displaystyle f^{-1}(y)=\pm {\sqrt {y}}} として考えるならば始域を制限する必要も無い。 このような多価逆函数を f の全逆函数もしくは完全逆写像 (full inverse) などと呼び、その（√x や −√x のような）部分のことを枝もしくは分枝 (branches) と呼ぶ場合もある。（例えば正の平方根のような）多価函数の最も重要な枝は主枝 (principal branch) といい、逆函数の y における値で主枝に属するものを f −1 (y) の主値 (principal value) と呼ぶ。 実数直線上の連続函数に対して、極値の隣り合う対にそれぞれ、その全逆函数の一つの（連続な）枝が対応する。例えば、極大値と極小値をもつ三次函数の逆函数は、三つの分枝を持つ。 こういったことへの配慮は、特に三角函数の逆函数を定義する際には重要である。例えば、正弦函数は任意の実数に対して sin ( x + 2 π ) = sin ( x ) {\displaystyle \sin(x+2\pi )=\sin(x)} を満たす（もっと一般に任煮の整数 n に対して sin(x + 2πn) = sin(x) を満たす）から一対一ではない。しかし、区間 [−π/2, π/2] 上で正弦函数は一対一であり、対応する偏逆函数は逆正弦函数 arcsine と呼ばれる。これは（全）逆正弦函数の主枝であると考えられ、そたがってこの逆函数の主値は常に .mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}−π⁄2 と π⁄2 の間に値を持つ。 逆三角函数の主枝函数通常用いられる主値の範囲arc sin −π/2 ≤ arc sin(x) ≤ π/2 arc cos 0 ≤ arc cos(x) ≤ π arc tan −π/2 < arc tan(x) < π/2 arc cot 0 < arc cot(x) < π arc sec 0 ≤ arc sec(x) < π arc csc −π/2 ≤ arc csc(x) < π/2
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