修正デュレーション
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/10/12 01:01 UTC 版)
「デュレーション」の記事における「修正デュレーション」の解説
年複利などの微少変化に対する利付債価格の変化の大きさは、修正デュレーション D ∗ {\displaystyle D^{*}} で与えられる。 評価時点から i / n {\displaystyle i/n} 後に生じるキャッシュ・フローを C i {\displaystyle C_{i}} とすると、この債券の現在価値は、 P = ∑ i C i ( 1 + r / n ) i {\displaystyle P=\sum _{i}{\frac {C_{i}}{(1+r/n)^{i}}}} である。ここで r {\displaystyle r} は債券の最終利回り（複利） 、 n {\displaystyle n} は1年あたりのキャッシュフロー発生回数である。修正デュレーションは、キャッシュ・フローの残存期間の加重平均の式として定義される。 D ∗ = 1 P ∑ i C i ( 1 + r / n ) i + 1 ⋅ i / n {\displaystyle D^{*}={\frac {1}{P}}\sum _{i}{\frac {C_{i}}{(1+r/n)^{i+1}}}\cdot i/n} ここで、 P {\displaystyle P} を r {\displaystyle r} について微分すると、 ∂ P ∂ r = − P ⋅ D ∗ {\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial r}}=-P\cdot D^{*}} が得られる。 y i {\displaystyle y_{i}} を一定とすると、修正デュレーションとマコーレー・デュレーションの間に以下の関係が成り立つ。 D ∗ = D m a c 1 + r n {\displaystyle D^{*}={\frac {D_{mac}}{1+{\frac {r}{n}}}}} この等式が成り立つことは、それぞれのデュレーションの式に 1 + r n = exp ( y / n ) {\displaystyle 1+{\frac {r}{n}}=\exp(y/n)} を代入することで直接確かめることができる。一方、 ∂ r ∂ y = ∂ ∂ y n exp ( y / n ) = exp ( y / n ) {\displaystyle {\frac {\partial r}{\partial y}}={\frac {\partial }{\partial y}}n\exp(y/n)=\exp(y/n)} から、 D ∗ = − 1 P ∂ P ∂ r = − 1 P ∂ P ∂ y / ∂ r ∂ y = D 1 + r n {\displaystyle D^{*}=-{\frac {1}{P}}{\frac {\partial P}{\partial r}}=-{\frac {1}{P}}{\frac {\partial P}{\partial y}}/{\frac {\partial r}{\partial y}}={\frac {D}{1+{\frac {r}{n}}}}} として、実効デュレーションに関する式として成り立つことを示すこともできる。
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