任意の軸周りの回転
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/01 07:56 UTC 版)
任意の回転行列は、ある軸 n {\displaystyle \mathbf {n} } まわりの角度 θ {\displaystyle \theta } の回転という形に表示できる（オイラーの定理 (剛体) （英語版））。このような回転行列はロドリゲスの回転公式により R n ( θ ) = [ cos θ + n x 2 ( 1 − cos θ ) n x n y ( 1 − cos θ ) − n z sin θ n z n x ( 1 − cos θ ) + n y sin θ n x n y ( 1 − cos θ ) + n z sin θ cos θ + n y 2 ( 1 − cos θ ) n y n z ( 1 − cos θ ) − n x sin θ n z n x ( 1 − cos θ ) − n y sin θ n y n z ( 1 − cos θ ) + n x sin θ cos θ + n z 2 ( 1 − cos θ ) ] {\displaystyle R_{\mathbf {n} }(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta +n_{x}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)-n_{z}\sin \theta &n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)+n_{y}\sin \theta \\n_{x}n_{y}\left(1-\cos \theta \right)+n_{z}\sin \theta &\cos \theta +n_{y}^{2}\left(1-\cos \theta \right)&n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)-n_{x}\sin \theta \\n_{z}n_{x}\left(1-\cos \theta \right)-n_{y}\sin \theta &n_{y}n_{z}\left(1-\cos \theta \right)+n_{x}\sin \theta &\cos \theta +n_{z}^{2}\left(1-\cos \theta \right)\\\end{bmatrix}}} と表示できる。また、任意のベクトル r {\displaystyle \mathbf {r} } へのその作用は R n ( θ ) r = r cos θ + n ( n ⋅ r ) ( 1 − cos θ ) + ( n × r ) sin θ {\displaystyle R_{\mathbf {n} }(\theta )\mathbf {r} =\mathbf {r} \cos \theta +\mathbf {n} (\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} )(1-\cos \theta )+(\mathbf {n} \times \mathbf {r} )\sin \theta } と書ける。
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