他の輻射法則との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/02/08 04:20 UTC 版)
「プランクの法則」の記事における「他の輻射法則との関係」の解説
以下にあげるように、プランクの法則から他の黒体輻射の近似的公式を導くことができる。 h ν ≫ k T {\displaystyle h\nu \gg kT} を満たす高周波数（短波長）においては I ( ν , T ) ∼ 2 h ν 3 c 2 e − h ν / k T , I ′ ( λ , T ) ∼ 2 h c 2 λ 5 e − h c / λ k T {\displaystyle {\begin{aligned}I(\nu ,T)\sim {\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}e^{-h\nu /kT},\\I'(\lambda ,T)\sim {\frac {2hc^{2}}{\lambda ^{5}}}e^{-hc/\lambda kT}\end{aligned}}} となり、ヴィーンの放射法則に漸近する。 また、 h ν ≪ k T {\displaystyle h\nu \ll kT} を満たす低周波数（長波長）においては I ( ν , T ) ∼ 2 ν 2 c 2 k T , I ′ ( λ , T ) ∼ 2 c λ 4 k T {\displaystyle {\begin{aligned}I(\nu ,T)\sim {\frac {2\nu ^{2}}{c^{2}}}kT,\\I'(\lambda ,T)\sim {\frac {2c}{\lambda ^{4}}}kT\end{aligned}}} となり、レイリー・ジーンズの法則に漸近する。 また、プランクの法則の周波数（波長）についての積分 j ⋆ ( T ) = ∫ 0 ∞ I ( ν , T ) d ν ∫ d Ω = π ∫ 0 ∞ I ( ν , T ) d ν = σ T 4 , σ = 2 π 5 k 4 15 c 2 h 3 {\displaystyle j^{\star }(T)=\int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\mathrm {d} \nu \int \mathrm {d} \Omega =\pi \int _{0}^{\infty }I(\nu ,T)\mathrm {d} \nu =\sigma T^{4},\quad \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}} より、単位面積、単位時間当たりに放出される輻射場のエネルギーが T4 に比例するというシュテファン＝ボルツマンの法則が得られる。 さらに、 ∂ I ′ ( λ , T ) / ∂ λ = 0 {\displaystyle \partial I'(\lambda ,T)/\partial \lambda =0} よりプランクの法則の分光放射輝度 I' (λ, T) が最大となる波長 λ を求めることにより、ヴィーンの変位則が得られる。
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