他の平均との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/05/02 05:16 UTC 版)
正の実数の集合に対して、調和平均を H, 算術平均を A, 幾何平均を G とすると、3つの平均の間には関係 H ≤ G ≤ A が成り立つ。平均を取る数の値がすべて等しいとき、かつそのときに限り、3つの平均は等しくなる。 また、2数 x1, x2 について考えると、調和平均は H = 2 x 1 x 2 x 1 + x 2 {\displaystyle H={\frac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}} と書ける。この場合算術平均は A = (x1 + x2)/2, 幾何平均は G = x 1 x 2 {\displaystyle G={\sqrt {x_{1}x_{2}}}} であるから、 H = G 2 A {\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}} という関係が成り立つ。これは G = A H {\displaystyle G={\sqrt {AH}}} とも書け、2つの数の幾何平均は算術平均と調和平均の幾何平均に等しいということである。 この関係は n（データ集合の大きさ）が3以上の場合に拡張することができ、一般の場合の関係は次のようになる： H ( x 1 , ⋯ , x n ) = ( G ( x 1 , ⋯ , x n ) ) n A ( x 2 x 3 ⋯ x n , x 1 x 3 ⋯ x n , ⋯ , x 1 x 2 ⋯ x n − 1 ) = ( G ( x 1 , ⋯ , x n ) ) n A ( ∏ i = 1 n x i x 1 , ∏ i = 1 n x i x 2 , ⋯ , ∏ i = 1 n x i x n ) . {\displaystyle H(x_{1},\cdots ,x_{n})={\frac {(G(x_{1},\cdots ,x_{n}))^{n}}{A(x_{2}x_{3}\cdots x_{n},x_{1}x_{3}\cdots x_{n},\cdots ,x_{1}x_{2}\cdots x_{n-1})}}={\frac {(G(x_{1},\cdots ,x_{n}))^{n}}{A\left({\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}}{x_{1}}},{\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}}{x_{2}}},\cdots ,{\frac {\prod _{i=1}^{n}x_{i}}{x_{n}}}\right)}}.} この関係式は調和平均の定義式を変形した式 H = n ∑ i = 1 n 1 x i = n ∏ j = 1 n x j ∑ i = 1 n ∏ j = 1 n x j x i {\displaystyle H={\frac {n}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}}}={\frac {n\prod \limits _{j=1}^{n}x_{j}}{\sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\prod _{j=1}^{n}x_{j}}{x_{i}}}}}} から導かれる。 3つの数の平均では次の関係が成り立つ： A 3 G 3 + G 3 H 3 + 1 ≤ 3 4 ( 1 + A H ) 2 {\displaystyle {\frac {A^{3}}{G^{3}}}+{\frac {G^{3}}{H^{3}}}+1\leq {\frac {3}{4}}\left(1+{\frac {A}{H}}\right)^{2}}
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他の平均との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/10/09 02:09 UTC 版)
幾何平均 ≤ 対数平均 ≤ 算術平均が成立する。 x y ≤ M lm ( x , y ) ≤ x + y 2 for all x ≥ 0 and y ≥ 0. {\displaystyle {\sqrt {xy}}\leq M_{\text{lm}}(x,y)\leq {\frac {x+y}{2}}\qquad {\text{ for all }}x\geq 0{\text{ and }}y\geq 0.} また、以下の関係式も成り立つ。 算術平均: M lm ( x 2 , y 2 ) M lm ( x , y ) = x + y 2 {\displaystyle {\frac {M_{\text{lm}}\left(x^{2},y^{2}\right)}{M_{\text{lm}}(x,y)}}={\frac {x+y}{2}}} 幾何平均: M lm ( x , y ) M lm ( 1 x , 1 y ) = x y {\displaystyle {\sqrt {\frac {M_{\text{lm}}\left(x,y\right)}{M_{\text{lm}}\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}}}={\sqrt {xy}}} 調和平均: M lm ( 1 x , 1 y ) M lm ( 1 x 2 , 1 y 2 ) = 2 1 x + 1 y {\displaystyle {\frac {M_{\text{lm}}\left({\frac {1}{x}},{\frac {1}{y}}\right)}{M_{\text{lm}}\left({\frac {1}{x^{2}}},{\frac {1}{y^{2}}}\right)}}={\frac {2}{{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{y}}}}}
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