二つのスピン 1/2 粒子
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2019/09/07 22:00 UTC 版)
「三重項状態」の記事における「二つのスピン 1/2 粒子」の解説
二つのスピン 1/2 粒子からなる系（例：陽子と電子からなる水素原子）は、それぞれの粒子のスピンをある軸に沿って測れば、アップスピンもしくはダウンスピンのどちらかであり、系全体としては単粒子スピンの二種類の向きを二つ用いて、次の四通りの基底状態を考えることができる。 ↑↑ , ↑↓ , ↓↑ , ↓↓ {\displaystyle \uparrow \uparrow ,\uparrow \downarrow ,\downarrow \uparrow ,\downarrow \downarrow } より厳密には、基底状態を次のように書き下せる。 | s 1 , m 1 ⟩ | s 2 , m 2 ⟩ = | s 1 , m 1 ⟩ ⊗ | s 2 , m 2 ⟩ {\displaystyle |s_{1},m_{1}\rangle |s_{2},m_{2}\rangle =|s_{1},m_{1}\rangle \otimes |s_{2},m_{2}\rangle } ここで s 1 {\displaystyle s_{1}} および s 2 {\displaystyle s_{2}} は二つの粒子のスピン、 m 1 {\displaystyle m_{1}} および m 2 {\displaystyle m_{2}} はそれぞれの z-軸への投影である。スピン 1/2 粒子の場合を考えれば、基底状態 | 1 / 2 , m ⟩ {\displaystyle |1/2,m\rangle } は二次元空間を張るので、基底状態 | 1 / 2 , m 1 ⟩ | 1 / 2 , m 2 ⟩ {\displaystyle |1/2,m_{1}\rangle |1/2,m_{2}\rangle } は4次元空間を張る。 ここで、クレブシュ-ゴルダン係数を用いた量子力学的角運動量合成則により全スピンおよびその z-軸への投影を計算することができる。一般的には以下のように書き下せる。 | s , m ⟩ = ∑ m 1 + m 2 = m C m 1 m 2 m s 1 s 2 s | s 1 m 1 ⟩ | s 2 m 2 ⟩ {\displaystyle |s,m\rangle =\sum _{m_{1}+m_{2}=m}C_{m_{1}m_{2}m}^{s_{1}s_{2}s}|s_{1}m_{1}\rangle |s_{2}m_{2}\rangle } 四つの基底状態は次のように対応する。 | 1 / 2 , + 1 / 2 ⟩ | 1 / 2 , + 1 / 2 ⟩ ( ↑↑ ) {\displaystyle |1/2,+1/2\rangle \;|1/2,+1/2\rangle \ (\uparrow \uparrow )} | 1 / 2 , + 1 / 2 ⟩ | 1 / 2 , − 1 / 2 ⟩ ( ↑↓ ) {\displaystyle |1/2,+1/2\rangle \;|1/2,-1/2\rangle \ (\uparrow \downarrow )} | 1 / 2 , − 1 / 2 ⟩ | 1 / 2 , + 1 / 2 ⟩ ( ↓↑ ) {\displaystyle |1/2,-1/2\rangle \;|1/2,+1/2\rangle \ (\downarrow \uparrow )} | 1 / 2 , − 1 / 2 ⟩ | 1 / 2 , − 1 / 2 ⟩ ( ↓↓ ) {\displaystyle |1/2,-1/2\rangle \;|1/2,-1/2\rangle \ (\downarrow \downarrow )} これらの基底状態 | 1 / 2 , m 1 ⟩ | 1 / 2 , m 2 ⟩ {\displaystyle |1/2,\ m_{1}\rangle |1/2,\ m_{2}\rangle } に対応する全スピンを計算することができる。全スピン角運動量 1 の状態は以下の三通りがありうる。 | 1 , 1 ⟩ = ↑↑ | 1 , 0 ⟩ = ( ↑↓ + ↓↑ ) / 2 | 1 , − 1 ⟩ = ↓↓ } s = 1 ( t r i p l e t ) {\displaystyle \left.{\begin{array}{ll}|1,1\rangle &=\;\uparrow \uparrow \\|1,0\rangle &=\;(\uparrow \downarrow +\downarrow \uparrow )/{\sqrt {2}}\\|1,-1\rangle &=\;\downarrow \downarrow \end{array}}\right\}\quad s=1\quad \mathrm {(triplet)} } そして、残る一つは全スピン角運動量 0 に対応する。 | 0 , 0 ⟩ = ( ↑↓ − ↓↑ ) / 2 } s = 0 ( s i n g l e t ) {\displaystyle \left.|0,0\rangle =(\uparrow \downarrow -\downarrow \uparrow )/{\sqrt {2}}\;\right\}\quad s=0\quad \mathrm {(singlet)} } このように、二つのスピン 1/2 粒子は全スピン 1 または 0、すなわち三重項状態および一重項状態を取り得る。
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