主な恒等式
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/06 01:19 UTC 版)
「回転 (ベクトル解析)」の記事における「主な恒等式」の解説
詳細は「ベクトル解析における公式の一覧（英語版）」を参照 例えば ∇ ×(v × F) を考える。デカルト座標系に従えば、これは ∇ × ( v × F ) = [ ( ∇ ⋅ F ) + F ⋅ ∇ ] v − [ ( ∇ ⋅ v ) + v ⋅ ∇ ] F {\displaystyle \nabla \times (\mathbf {v} \times \mathbf {F} )=[(\nabla \cdot \mathbf {F} )+\mathbf {F} \cdot \nabla ]\mathbf {v} -[(\nabla \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {v} \cdot \nabla ]\mathbf {F} } となることが示される。この場合はベクトル場 v と ∇ とを入れ替えて v × ( ∇ × F ) = ∇ F ( v ⋅ F ) − ( v ⋅ ∇ ) F {\displaystyle \mathbf {v} \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla _{\mathbf {F} }(\mathbf {v} \cdot \mathbf {F} )-(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {F} } とすることができる。ここで、ファインマンの下付き添字記法 ∇F を用いた。これは下付きにした勾配作用を因子 F のみに対して施すことを意味する。 他には例えば、∇ ×(∇ × F) を考えれば、これはデカルト座標系で ∇ × ( ∇ × F ) = ∇ ( ∇ ⋅ F ) − ∇ 2 F {\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {F} )=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {F} )-\nabla ^{2}\mathbf {F} } となり、これを前の例で v → ∇ とした特別の場合として考えることができる。（この場合、∇2F は、問題のベクトルの各成分に対して個別にラプラス作用素を施したベクトルであることに注意）。 任意のスカラー場 φ に対し、その勾配の回転は常に零ベクトル、即ち ∇ × ( ∇ ϕ ) = 0 → {\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )={\vec {0}}} が成り立つ。また、φ がスカラー値で F がベクトル場ならば、 ∇ × ( φ F ) = ∇ φ × F + φ ∇ × F {\displaystyle \nabla \times (\varphi \mathbf {F} )=\nabla \varphi \times \mathbf {F} +\varphi \nabla \times \mathbf {F} } が成り立つ。
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