一般的条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/09 23:01 UTC 版)
「トランスクリティカル分岐」の記事における「一般的条件」の解説
標準形に限定されない一般的な力学系において、トランスクリティカル分岐の一般的な発生条件は次のように整理できる。1つのパラメータを持つ一般的な1次元ベクトル場 d x d t = f ( x , μ ) , x ∈ R , μ ∈ R {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,\mu ),\ x\in \mathbb {R} ,\ \mu \in \mathbb {R} } が与えられたとする。ベクトル場 f(x, μ) が固定点 x* = 0 を持ち、さらに以下の条件を満たすとき、分岐値 μc = 0 で f(x, μ) はトランスクリティカル分岐を起こす。 { ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ x = 0 ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ μ = 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x 2 ≠ 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x ∂ μ ≠ 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=0\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}=0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x\,\partial \mu }}\neq 0\end{cases}}} 上記の一般的条件は (x = 0, μ = 0) に限定されない。分岐点が任意の値の組 (x = x*, μ = μc) でも、(x = x*, μ = μc) で条件が満たされればトランスクリティカル分岐が起きる。 別の見方では次のような定理が成立する。上記の条件を満たす f(x, μ) は、x と μ に適当な変換を施せば、分岐点 (x = 0, μ = 0) 近傍で d y d t = a y ± y 2 + O ( y 3 ) {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=ay\pm y^{2}+O(y^{3})} という形に書き直すことができる。ここで、y は新たな変数、a は新たなパラメータ、O(y3) はランダウの記号である。 離散力学系の場合は次のとおりである。1パラメータ族の一般的な1次元写像 x ↦ f ( x , μ ) {\displaystyle x\mapsto f(x,\mu )} が条件 { ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ x = 1 ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ μ = 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x 2 ≠ 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x ∂ μ ≠ 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=1\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}=0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x\,\partial \mu }}\neq 0\end{cases}}} を満たすとき、(x = 0, μ = 0) で写像 f(x, μ) はトランスクリティカル分岐を起こす。
※この「一般的条件」の解説は、「トランスクリティカル分岐」の解説の一部です。
「一般的条件」を含む「トランスクリティカル分岐」の記事については、「トランスクリティカル分岐」の概要を参照ください。
一般的条件
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/04/10 09:49 UTC 版)
標準形に限定されない一般的な力学系において、サドルノード分岐の一般的な発生条件は次のように整理できる。1つのパラメータを持つ一般的な1次元ベクトル場 d x d t = f ( x , μ ) , x ∈ R , μ ∈ R {\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=f(x,\mu ),\ x\in \mathbb {R} ,\ \mu \in \mathbb {R} } が与えられたとする。ベクトル場 f(x, μ) が固定点 x* = 0 を持ち、さらに以下の条件を満たすとき、分岐値 μc = 0 で f(x, μ) はサドルノード分岐を起こす。 { ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ x = 0 ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ μ ≠ 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x 2 ≠ 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=0\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\\end{cases}}} 上記の一般的条件は (x = 0, μ = 0) に限定されない。分岐点が任意の値の組 (x = x*, μ = μc) でも、(x = x*, μ = μc) で条件が満たされればサドルノード分岐が起きる。 別の見方では次のような定理が成立する。上記の条件を満たす f(x, μ) は、x と μ に適当な変換を施せば、分岐点 (x = 0, μ = 0) 近傍で d y d t = a ± y 2 + O ( y 3 ) {\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=a\pm y^{2}+O(y^{3})} という形に書き直すことができる。ここで、y は新たな変数、a は新たなパラメータ、O(y3) はランダウの記号である。 離散力学系の場合は次のとおりである。1パラメータ族の一般的な1次元写像 x ↦ f ( x , μ ) , x ∈ R , μ ∈ R {\displaystyle x\mapsto f(x,\mu ),\ x\in \mathbb {R} ,\ \mu \in \mathbb {R} } が条件 { ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ x = 1 ∂ f ( 0 , 0 ) ∂ μ ≠ 0 ∂ 2 f ( 0 , 0 ) ∂ x 2 ≠ 0 {\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial x}}=1\\{\dfrac {\partial f(0,\ 0)}{\partial \mu }}\neq 0\\{\dfrac {\partial ^{2}f(0,\ 0)}{\partial x^{2}}}\neq 0\\\end{cases}}} を満たすとき、(x = 0, μ = 0) で写像 f(x, μ) はサドルノード分岐を起こす。
※この「一般的条件」の解説は、「サドルノード分岐」の解説の一部です。
「一般的条件」を含む「サドルノード分岐」の記事については、「サドルノード分岐」の概要を参照ください。
- 一般的条件のページへのリンク
