リーマン幾何学との比較
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/02/14 08:39 UTC 版)
「ダルブーの定理 (微分幾何学)」の記事における「リーマン幾何学との比較」の解説
この結果は、シンプレクティック幾何学には局所不変量がないことを意味する。ダルブー基底（英語版）(Darboux basis)は与えられた任意の点の近傍で取ることができる。このことは、リーマン曲率が局所不変であることによって、計量を局所的に d x i {\displaystyle dx_{i}} の二乗の和として書くことへの障害となっているリーマン幾何学の状況とは、極めて対照的である。 この差異は、ダルブーの定理では p {\displaystyle p} の近傍の内部全体で ω {\displaystyle \omega } を標準的な形で書くことができるのに対し、リーマン幾何学では、与えられた任意の点で標準的な形に取ることはできるが、それが点の近傍ではいつも成立するとは限らないことから来ている。
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リーマン幾何学との比較
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/13 15:53 UTC 版)
「シンプレクティック同相写像」の記事における「リーマン幾何学との比較」の解説
リーマン多様体とは異なり、シンプレクティック多様体は非常にリジッド(rigid)というわけではない。ダルブーの定理は、同じ次元のすべてのシンプレクティック多様体は局所的に等長(isometric)であることを言っている。これに対して、リーマン幾何学の等長は、リーマン多様体の局所不変量であるリーマン曲率テンソルを保存せねばならない。さらに、シンプレクティック多様体上の任意の函数 H はハミルトンベクトル場 XH を定義し、ハミルトン微分同相の一径数群（英語版）をべきとして持っている。このことからシンプレクティック同相群は常に非常に大きく、無限次元である。他方、リーマン多様体の等長(isometric)群は、常に（有限次元の）リー群である。さらに、大きな対称群を持つリーマン多様体は非常に特別であり、生成するリーマン多様体の対称性は非自明である。
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