ボレル集合族の生成
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/14 03:06 UTC 版)
ボレル集合族は最初に述べた意味で「生成的」に記述することができる。 任意の順序数 α {\displaystyle \alpha } に関する列 B α {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\alpha }} を以下のような超限帰納法で定める: 初期条件として、 B 0 {\displaystyle {\mathcal {B}}^{0}} は X {\displaystyle X} の開集合系とする。 α = β + 1 {\displaystyle \alpha =\beta +1} のときは、 B α := { ⋃ i = 1 ∞ A i ; A i ∈ B β or X ∖ A i ∈ B β } {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\alpha }:={\Big \{}\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i};\,A_{i}\in {\mathcal {B}}^{\beta }\,{\text{or}}\,X\setminus A_{i}\in {\mathcal {B}}^{\beta }\,{\Big \}}} α {\displaystyle \alpha } が極限順序数のときは、 B α := ⋃ β < α B β {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\alpha }:=\bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {B}}^{\beta }} このとき、ボレル集合族は最小の非可算順序数 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} に対する B ω 1 {\displaystyle {\mathcal {B}}^{\omega _{1}}} に他ならない。即ち、ボレル集合族は空間の開集合から、補集合を取る操作と可算合併を最小の非可算順序数回反復的に適用して「生成」することができる。 この構成はボレル階層に密接に関係している。 距離空間の場合は補集合を取らずに、可算合併と可算共通部分でボレル集合族を生成することも可能である（距離空間の閉集合は開集合の可算共通部分として表せることに注意）。 各ボレル集合 B {\displaystyle B} に対しては、ある可算順序数 α B {\displaystyle \alpha _{B}} が存在して、 B {\displaystyle B} は上記の操作を α B {\displaystyle \alpha _{B}} 回反復適用して得られるが、 B {\displaystyle B} をボレル集合全てに亘って動かすとき α B {\displaystyle \alpha _{B}} の可算順序数全てに渡る場合がある、よってボレル集合族全体を常に得るには最小の非可算順序数 ω 1 {\displaystyle \omega _{1}} が必要になる（特に実直線のボレル集合族は可算順序数で表せない）。
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