ベイズの定理

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ベイズの定理

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2025/05/11 15:41 UTC 版)

統計学
ベイズ統計学
理論
許容決定規則 ベイズ効率性 ベイズ確率 確率の解釈 ベイズの定理 ベイズ因子 ベイズ推定 ベイジアンネットワーク 事前確率 事後確率 尤度 共役事前分布 事後予測分布 ハイパーパラメータ ハイパーパラメータの事前分布 等確率の原理 最大エントロピー原理 経験ベイズ法 クロムウェルの差止め規則 ベルンシュテイン＝フォン・ミーゼス定理 シュワルツ情報量規準 信用区間 最大事後確率推定 根源的蓋然論
技法
ベイズ線形回帰 ベイズ推定量 近似ベイズ計算 マルコフ連鎖モンテカルロ法
表 話 編 歴

確率論
コルモゴロフの公理
確率空間 標本空間 根元事象 事象 確率変数 確率測度
排反 同時分布 周辺分布 条件付き確率
独立 条件付き独立 全確率の法則 大数の法則 ベイズの定理 ブールの不等式
ベン図 樹形図
表 話 編 歴

トーマス・ベイズ（c. 1701–1761）

確率論や統計学において、トーマス・ベイズ牧師にちなんで名付けられたベイズの定理（ベイズのていり、英: Bayes' theorem）、ベイズの法則、最近ではベイズ・プライスの定理とは、ある事象に関連する可能性のある条件についての事前の知識に基づいて、その事象の確率を記述するものである。例えば、健康問題の発生リスクが年齢とともに増加することが知られている場合、ベイズの定理により、ある年齢の個人のリスクを、単にその個人が集団全体の典型的な例であると仮定するよりも、（年齢を条件として）より正確に評価することができる。

ベイズの定理を応用したものに、推計統計学の手法の一つであるベイズ推定がある。その際、定理に関わる確率は、異なる確率解釈をすることができる。ベイズ確率の解釈では、定理は確率として表現された信念の度合いが、関連する証拠の入手可能性を考慮して合理的にどのように変化すべきかを表現している。ベイジアン推論は、ベイズ統計学の基本である。

2つの樹形模様を重ね合せて表現したベイズの定理。

ベイズの定理を3次元で描いた説明図。

ピエール＝シモン・ラプラス（1745–1827）

定理の説明

まず、確率 P(A) を考える。A は集合 Ω の部分集合とする。P とは、正定値性と加算性を満たし、P(Ω) = 1 を満たす関数である。（数学的には、およそ測度そのものである。）

次に、P(A | B) ≡ P(A ∩ B) / P(B) は条件付き確率の定義であり、元 x ∈ B が x ∈ A を満たす割合である。すなわち B を集合全体として部分集合 A ∩ B の確率を考えるということである。条件とは、Ω の部分集合 B を指定するための条件であり「条件を与える」というのと「部分集合 B を与える」のは等価である。

ベイズの定理は、次の式で表される:

$P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}}$

薬物検査の例を表す樹形図。記号U, Ū, +, − はそれぞれ使用者である、非使用者である、陽性である、陰性である事象を表す。

ある薬物の検査が感度99％かつ特異度99%だとしよう——つまり検査によって薬物の使用者のうち99%が陽性となり、非使用者のうち99%が陰性となると仮定する。さらに社会の0.5%が薬物使用者であるとする。無作為に選ばれた個人がこの検査で陽性だったとき、薬物使用者である確率はいくつか？ベイズの定理（と全確率の公式）から

${\begin{aligned}P({\text{U}}\mid {\text{+}})&={\frac {P({\text{+}}\mid {\text{U}})\,P({\text{U}})}{P(+)}}\\&={\frac {P({\text{+}}\mid {\text{U}})\,P({\text{U}})}{P({\text{+}}\mid {\text{U}})\,P({\text{U}})+P({\text{+}}\mid {\overline {\text{U}}})\,P({\overline {\text{U}}})}}\\&={\frac {0.99\times 0.005}{0.99\times 0.005+0.01\times 0.995}}\\&\approx 0.332\end{aligned}}$ カテゴリ