フェラーリの方法
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/06/03 04:19 UTC 版)
フェラーリの方法は、一般的な四次方程式の解法のうちで最初に与えられた解法である。四次方程式 a4 x4 + a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0 = 0 (a4 ≠ 0) を a4 で割り x4 + A3 x3 + A2 x2 + A1 x + A0 = 0 の形にする。( A n = a n a 4 {\displaystyle A_{n}={\frac {a_{n}}{a_{4}}}} ) B 3 := A 3 4 {\displaystyle B_{3}:={\frac {A_{3}}{4}}} とし x = y − B3 によって変数変換を行うと y4 + (A2 − 6 B32) y2 + (A1 − 2 A2 B3 + 8 B33) y + (A0 − A1 B3 + A2 B32 − 3 B34) = 0 となり、3次の項が消えた方程式が得られる。見やすいように y4 + p y2 + q y + r = 0 と書く。q = 0 の時は、複二次式として解けばよいので、以後は q ≠ 0 とする。 媒介変数 u ≠ 0 を用い ( y 2 + p + u 2 ) 2 − u ( y − q 2 u ) 2 = 0 {\displaystyle \left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)^{2}-u\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)^{2}=0} と変形する。ここで上式を展開し係数を比較すると、u の三次方程式 u (p + u)2 − 4 r u = q2 が得られる。このような補助的な方程式を、与えられた四次方程式に関する三次分解方程式(resolvent cubic equation) という。q ≠ 0 なので、この分解方程式の解は u ≠ 0 を満たしており、この解の一つを u として取る。また、求める四次方程式は { ( y 2 + p + u 2 ) + u ( y − q 2 u ) } { ( y 2 + p + u 2 ) − u ( y − q 2 u ) } = 0 {\displaystyle \left\{\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)+{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)\right\}\left\{\left(y^{2}+{\frac {p+u}{2}}\right)-{\sqrt {u}}\left(y-{\frac {q}{2u}}\right)\right\}=0} となり、この2つの二次方程式から、四次方程式の解を求めることができる。
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