トリボナッチ数
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/12/05 14:35 UTC 版)
特に直前の三項の和として各項が定まるトリボナッチ数列は、フィボナッチ数列に次いでよく調べられている。0-fil型でオフセットが0番目からのものは T0 = T1 = 0, T2 = 1, Tn+3 = Tn + Tn+1 + Tn+2 (n ≥ 0) と表される。第0～21項の値は次の通りである： 0, 0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, 5768, 10609, 19513, 35890, 66012, … (OEIS A000073) トリボナッチ数列の一般項は次で表される。 T n = α n ( α − β ) ( α − γ ) + β n ( β − γ ) ( β − α ) + γ n ( γ − α ) ( γ − β ) {\displaystyle T_{n}={\frac {\alpha ^{n}}{(\alpha -\beta )(\alpha -\gamma )}}+{\frac {\beta ^{n}}{(\beta -\gamma )(\beta -\alpha )}}+{\frac {\gamma ^{n}}{(\gamma -\alpha )(\gamma -\beta )}}} ただし、α, β, γ は三次方程式 x3 − x2 − x − 1 = 0 の3解 α = 1 3 ( 1 + 19 − 3 33 3 + 19 + 3 33 3 ) β = 1 3 ( 1 + ω 19 − 3 33 3 + ω ¯ 19 + 3 33 3 ) γ = 1 3 ( 1 + ω ¯ 19 − 3 33 3 + ω 19 + 3 33 3 ) {\displaystyle {\begin{aligned}\alpha &={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\\\beta &={\frac {1}{3}}\left(1+\omega {\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\bar {\omega }}{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\\\gamma &={\frac {1}{3}}\left(1+{\bar {\omega }}{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+\omega {\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}\right)\end{aligned}}} であり、ここで ω = − 1 + 3 i 2 {\displaystyle \omega ={\frac {-1+{\sqrt {3}}i}{2}}} （1 の虚立方根） である。 また、上記の α をトリボナッチ定数という。これはフィボナッチ数列における黄金数に当たる定数で、トリボナッチ数列の隣接2項間の商はトリボナッチ定数に収束する： lim n → ∞ T n T n − 1 = α = 1.839286755214161 ⋯ {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {T_{n}}{T_{n-1}}}=\alpha =1.839286755214161\cdots }
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