データへのパラメータ適合

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データへのパラメータ適合

出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2022/03/07 21:05 UTC 版)

「生存分析」の記事における「データへのパラメータ適合」の解説

生存モデル（survival models）は、目的変数が時間である通常の回帰モデルと見なすことができる。しかし、尤度関数の計算（パラメータの適合や他の種類の推論に必要な）は、打ち切りによって複雑になる。打切りデータがある場合の生存モデルの尤度関数は、次のように定式化される。定義によれば、尤度関数は、モデルのパラメータが与えられた場合の、データの条件付き確率である。通常、パラメータが与えられると、データは独立であると仮定する。その場合、尤度関数は、各データの尤度の積である。データを4つのカテゴリー（打ち切り無し、左側打ち切り、右側打ち切り、区間打ち切り）に分けると便利である。これらは下の式でそれぞれ「unc.」、「l.c.」、「r.c.」、「i.c.」と示されている。 L ( θ ) = ∏ T i ∈ u n c . Pr ( T = T i ∣ θ ) ∏ i ∈ l . c . Pr ( T < T i ∣ θ ) ∏ i ∈ r . c . Pr ( T > T i ∣ θ ) ∏ i ∈ i . c . Pr ( T i , l < T < T i , r ∣ θ ) . T i が死亡時の年齢に等しい打ち切り無しデータの場合、次の式を得る。 Pr ( T = T i ∣ θ ) = f ( T i ∣ θ ) . 死亡時の年齢が T i 未満であることがわかっているような左側打ち切りデータの場合、次の式を得る。 Pr ( T < T i ∣ θ ) = F ( T i ∣ θ ) = 1 − S ( T i ∣ θ ) . {\displaystyle \Pr(T T i ∣ θ ) = 1 − F ( T i ∣ θ ) = S ( T i ∣ θ ) . {\displaystyle \Pr(T>T_{i}\mid \theta )=1-F(T_{i}\mid \theta )=S(T_{i}\mid \theta ).} 死亡時の年齢が T i , r {\displaystyle T_{i,r}} 未満で T i , l {\displaystyle T_{i,l}} より大きいことがわかっているような区間打切りデータの場合、次の式を得る。 Pr ( T i , l < T < T i , r ∣ θ ) = S ( T i , l ∣ θ ) − S ( T i , r ∣ θ ) . {\displaystyle \Pr(T_{i,l}<T<T_{i,r}\mid \theta )=S(T_{i,l}\mid \theta )-S(T_{i,r}\mid \theta ).} 区間打ち切りデータが発生する重要なアプリケーションは現在の状況データであり、事象 T i {\displaystyle T_{i}} は、ある観測時間以前には発生しておらず、次の観測時間以前には発生していることがわかっている。