ソボレフ空間との関係
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2018/08/26 09:38 UTC 版)
「バーンバウム＝オルリッチ空間」の記事における「ソボレフ空間との関係」の解説
ある種のソボレフ空間はオルリッチ空間に埋め込まれる。すなわち、リプシッツ領域 ∂ X {\displaystyle \partial X} を持つ有界開集合 X ⊆ R n {\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}} に対して、 φ ( t ) := exp ( | t | p / ( p − 1 ) ) − 1 {\displaystyle \varphi (t):=\exp \left(|t|^{p/(p-1)}\right)-1} ならば W 0 1 , p ( X ) ⊆ L φ ( X ) {\displaystyle W_{0}^{1,p}(X)\subseteq L^{\varphi }(X)} が成り立つ。これは次のトゥルディンガー不等式（英語版）の解析的な内容である：リプシッツ境界 ∂ X {\displaystyle \partial X} を持つ開かつ有界な集合 X ⊆ R n {\displaystyle X\subseteq \mathbb {R} ^{n}} に対して、空間 W 0 k , p ( X ) {\displaystyle W_{0}^{k,p}(X)} , k p = n {\displaystyle kp=n} を考える。このとき、次を満たす定数 C 1 , C 2 > 0 {\displaystyle C_{1},C_{2}>0} が存在する。 ∫ X exp ( ( | u ( x ) | C 1 ‖ D k u ‖ L p ( X ) ) p / ( p − 1 ) ) d x ≤ C 2 | X | . {\displaystyle \int _{X}\exp \left(\left({\frac {|u(x)|}{C_{1}\|\mathrm {D} ^{k}u\|_{L^{p}(X)}}}\right)^{p/(p-1)}\right)\,\mathrm {d} x\leq C_{2}|X|.}
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