ソボレフ函数の直線上絶対連続性による特徴づけ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2020/01/08 16:07 UTC 版)
「ソボレフ空間」の記事における「ソボレフ函数の直線上絶対連続性による特徴づけ」の解説
Ω を Rn の開集合とし、1 ≤ p ≤ ∞ とする。函数が W1,p(Ω) に属すならば、場合によっては測度 0 の集合上での値を変更して、その函数の Rn の座標方向に平行な殆ど全ての直線への制限が絶対連続であるようにすることができる。逆に、座標方向に平行な殆ど全ての直線への f の制限が絶対連続ならば、各点ごとの傾き ∇f が殆ど至る所存在し、f と |∇f| の両方が Lp(Ω) に属すとき f は W1,p(Ω) に属す。特に、このときの f の弱偏微分と各点ごとの傾きは殆ど至る所一致する。 より強い結果として、これは p = ∞ においても正しい。W1,∞(Ω) に属する函数は測度 0 の集合上値を変更することにより局所リプシッツにできる。
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