スタインハウスのメガ
出典: フリー百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』 (2021/09/17 16:42 UTC 版)
= 2[5] = 2[4]2 = 2[4][4] = 256[4] = 256[3]256 したがって、+1はフェルマー数である。 256[3]nを順に見ていくと、 256 [ 3 ] = 256 256 ≈ 32317.006 × 1 , 000 , 000 102 ≈ 1 , 000 , 000 102.75157185330558129962287607 {\displaystyle 256[3]=256^{256}\approx 32317.006\times {1,000,000}^{102}\approx {1,000,000}^{102.75157185330558129962287607}} 256 [ 3 ] 2 = 256 [ 3 ] [ 3 ] = ( 256 256 ) 256 256 = 256 256 × 256 256 = 256 256 257 = ( 256 ↑ ) 2 257 ≈ ( 1 , 000 , 000 ↑ ) 2 103.08686993234988541821889367 {\displaystyle 256[3]_{2}=256[3][3]=\left(256^{256}\right)^{256^{256}}=256^{256\times 256^{256}}=256^{256^{257}}=\left(256\uparrow \right)^{2}257\approx \left(1,000,000\uparrow \right)^{2}103.08686993234988541821889367} ここで、↑はクヌースの矢印表記である。 256 [ 3 ] 3 = 256 [ 3 ] 2 [ 3 ] = ( 256 256 257 ) 256 256 257 = 256 256 257 × 256 256 257 = 256 256 257 + 256 257 = ( 256 ↑ ) 2 ( 257 + 256 257 ) = 4 [ 4 ] = 2 2 11 [ 3 ] 2 = 2 2 11 [ 3 ] [ 3 ] = ( 2 2 11 ) 2 2 11 [ 3 ] = 2 2 11 ⋅ 2 2 11 [ 3 ] = 2 2 11 + 2 11 [ 3 ] = 2 2 2059 [ 3 ] ≈ ( 1 , 000 , 000 3.320623171 × 1 , 000 , 000 103 ) ( 1 , 000 , 000 ↑ ) 2 103.0868699 ≈ 1 , 000 , 000 3.320623171 × 1 , 000 , 000 103 × ( 1 , 000 , 000 ↑ ) 2 103.0868699 ≈ 1 , 000 , 000 3.320623171 × 1 , 000 , 000 103 + 1 , 000 , 000 ↑ 103.0868699 ≈ 1 , 000 , 000 3.320623171 × 1 , 000 , 000 103 + 3.320623171 × 1 , 000 , 000 103 ≈ ( 10 ↑ ) 3 619.2993708444822 {\displaystyle {\begin{aligned}256[3]_{3}&=256[3]_{2}[3]=\left(256^{256^{257}}\right)^{256^{256^{257}}}=256^{256^{257}\times 256^{256^{257}}}=256^{256^{257+256^{257}}}=\left(256\uparrow \right)^{2}\left(257+256^{257}\right)\\&=4[4]\\&=2^{2^{11}}[3]_{2}=2^{2^{11}}[3][3]=\left(2^{2^{11}}\right)^{2^{2^{11}}}[3]=2^{2^{11}\cdot 2^{2^{11}}}[3]=2^{2^{11+2^{11}}}[3]=2^{2^{2059}}[3]\\&\approx \left(1,000,000^{3.320623171\times 1,000,000^{103}}\right)^{\left(1,000,000\uparrow \right)^{2}103.0868699}\approx 1,000,000^{3.320623171\times 1,000,000^{103}\times \left(1,000,000\uparrow \right)^{2}103.0868699}\approx 1,000,000^{3.320623171\times 1,000,000^{103+1,000,000\uparrow 103.0868699}}\approx 1,000,000^{3.320623171\times 1,000,000^{103+3.320623171\times 1,000,000^{103}}}\\&\approx \left(10\uparrow \right)^{3}619.2993708444822\end{aligned}}} となる。ここで、きわめて大雑把な「近似」 256 [ 3 ] 3 = 256 256 257 + 256 257 ≒ 256 256 256 257 = ( 256 ↑ ) 3 257 {\displaystyle 256[3]_{3}=256^{256^{257+256^{257}}}\fallingdotseq 256^{256^{256^{257}}}=\left(256\uparrow \right)^{3}257} を導入する。しかし近似といっても実際は 256 256 257 + 256 257 = ( 256 256 256 257 ) 256 257 ≫ 256 256 256 257 {\displaystyle 256^{256^{257+256^{257}}}=\left(256^{256^{256^{257}}}\right)^{256^{257}}\gg 256^{256^{256^{257}}}} であり、通常の感覚ではまったくかけ離れていることに注意。このような現象を「指数タワーパラドックス」と呼ぶ。 同様に、 256 [ 3 ] 4 ≒ 256 256 256 256 257 = ( 256 ↑ ) 4 257 {\displaystyle 256[3]_{4}\fallingdotseq 256^{256^{256^{256^{257}}}}=(256\uparrow )^{4}257} 256 [ 3 ] 5 ≒ 256 256 256 256 256 257 = ( 256 ↑ ) 5 257 {\displaystyle 256[3]_{5}\fallingdotseq 256^{256^{256^{256^{256^{257}}}}}=(256\uparrow )^{5}257} と「近似」できる。したがって、 = 256[3]256 ≒ (256↑)256 257 である。 さらに大雑把な「近似」を認めれば、 ≒ 256↑↑257 と表せる。ただし実際は、 ≫ (256↑)256 257 ≫ 256↑↑257 である。 具体的な値は ≒(10↑)255(1.99×10619)≒(1000000↑)255(3.3206232×1000000103) に近く、したがって 10↑↑257 < < 10↑↑258 の範囲にあって、 1000000↑↑256 < < 1000000↑↑257 の範囲にある。
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